1.1 锐角三角函数第二课时教学设计

4.1正弦和余弦

第1课时

正弦的概念和正弦值的求法

教学目标

【知识与技能】

1.使学生理解锐角正弦的定义. 2.会求直三角形中锐角的正弦值. 3.会用计算器计算任意一个锐角的正弦值. 【过程与方法】

使学生经历探索正弦定义的过程.逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力. 【情感态度】

通过探索、发现,培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【教学重点】

根据定义求锐角的正弦值. 【教学难点】

探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程. 教学过程

一、情景导入，初步认知

1.下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？

2.学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”. 【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生

学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考. 二、思考探究，获取新知

1.画一个直角三角形，其中一个锐角为65°,量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：

65°角的对边/斜边=_______=_______. （1）与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等. （2）根据计算的结果，你能得到什么结论？

（3）这个结论是正确的吗？

（4）若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？

2.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°,则BC/AB=EF/DE成立吗？请说出你的证明过程.

通过我们的证明，这就说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα. 3.计算sin30°、sin45°、sin60°的值. 【教学说明】引导学生利用“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”和“勾股定理”进行计算. 【归纳结论】sin30°=1/2；sin45°=2/2；sin60°=3/2. 4.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？

5.利用计算器计算sin50°的值. 在计算器上依次按键sin 5 0，则屏幕上显示的就是sin50°的值，

6.如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数. 例如：已知sinα=0.7071，求α的度数.我们可以依次按键2ndF sin 0 . 7

0 7 1，则屏幕上显示的就是α的度数. 【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础. 三、运用新知，深化理解

1.见教材P110例1、P113例2. 2.在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于() A.6 B.2 C.3 D．26 【答案】 A 3.计算sin36°=_____. (保留四个有效数字)．

【答案】 0.5878 4.若sinA=0.1234sinB=0.2135,则A_____B（填＜、＞、＝）

解析：根据sin30°=1/2,sin45°=2/2,sin60°=3/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大. 【答案】

＜

5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

(1)求∠A的正弦sinA. (2)求∠B的正弦sinB. 分析：先利用勾股定理算出AB的长，再利用正弦的计算方法进行计算. 解：(1) ∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ，

于是sinA= 3/5. (2)∠B的对边是AC，

因此sinB= AC/AB=4/5. 6.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（）

A.不变化 B.扩大3倍

C.缩小1/3 D.缩小3倍

分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变. 【答案】 A 7.已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长．

分析：作△ABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注意保留原三角形中的特殊角．

8.求sin63°52′41″的值.（精确到0.0001）

解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

所以sin63°52′41″≈0.8979. 【教学说明】收集学生在课堂上学习的时候出现的易错点和难点，引导学生查找、

分析原因，并且有针对性补充练习，促进提高，由基础慢慢进入到提高，照顾每个层次的学生的能力，提高学生学习数学的积极性和主动性. 四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.1”中第3、4 题. 教学反思

本节课重难点就是对比值的理解，可以从以下几方面着手研究：（1）讨论角的任意性（从特殊到一般），（2）运用相似三角形性质，让学生领悟到：在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值.

第2课时

余弦的概念和余弦值的求法

教学目标

【知识与技能】

1.使学生理解锐角余弦的定义. 2.会求直三角形中锐角的余弦值. 3.会用计算器求一般锐角的余弦值. 【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. 【情感态度】

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【教学重点】

求直三角形中锐角的余弦值. 【教学难点】

求直三角形中锐角的余弦值. 教学过程

一、情景导入，初步认知

1.什么叫作正弦？

2.sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？

【教学说明】对上节课的内容进行复习. 二、思考探究，获取新知

1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,则成立吗？为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边. 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°-α),从而有：

sinα=cos(90°-α). 2.计算cos30°，cos45°，cos60°的值.

3.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算. 例如，求cos50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键则屏幕上显示的就是cos50°的值. 4.如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数. 例如：已知cosα=0.8661，求α的度数.我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数. 【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下了基础. 三、运用新知，深化理解

1.见教材P115例4. 2.下列说法正确的个数有( ) (1)对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1 (2)对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2 (3)如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2 (4)对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α) A.1个B.2个C.3个D.4个

，

【答案】 C 3.在△ABC中，∠C=90°，若2AC=2AB，求∠A的度数及cosB的值．

分析:利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用．

4.计算：

（1）｜-3｜-2sin60°+sin45°·cos45°; (2)cos260°+cos245°+2sin30°·sin45°.

5.用计算器求值(保留四位小数)：

(1)sin38°19′；(2)cos78°43′16″．

解：（1）按MODE，出现：DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：0.620007287,则结果为0.6200. （2）按MODE，出现：DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：0.195584815,则结果为0.1956. 6.若sin40°=cosα，求α的度数．

解：∵sin40°=cosα，

∴α=90°-40°=50°. 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，求BC/AB的值. 解：∵sin2B+cos2B=1，∠B为Rt△ABC的内角，

∴cosB=1sin2B

=4/5，

即cosB=BC/AB=4/5．

8.正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值.

解：如图，在OA上取一点E,过点E作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=5．

【教学说明】引导学生分析问题，作出辅助线，再写出解答过程. 四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.1”中第6、7、8题. 教学反思

教学中，我一直比较关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学都给予鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性.在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的状态下，适时导出概念，自然而合理，符合新课标的理念.若干年后，或许对余弦概念的表达式已经彻底忘记，但对探索概念的过程，创新意识，数学思想，将深深铭刻在他们的脑海中.

第3课时

正弦和余弦

教学目标

【知识与技能】

1.进一步认识正弦和余弦；

2.正弦和余弦的综合应用. 【过程与方法】

通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 【情感态度】

经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力. 【教学重点】

直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 【教学难点】

直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 教学过程

一、情景导入，初步认知

1.正弦和余弦的定义是什么？

2.正弦和余弦之间有什么关系？

【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知

一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)

分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图)

可知，∠BOD=60°，

OB=OA＝OD=2.5 m，

∠AOD＝1/2×60°＝30°，

∴OC=OD·cos30°

=2.5×3≈2.165(m). 2∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 【教学说明】通过例题的教学，使学生掌握正弦、余弦在具体问题中的应用. 三、运用新知，深化理解

1.求下列式子的值.

2.在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=6, sinA=3/5,求cosA.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?

4.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

解：在Rt△ABC中，

sinA=BC/AB，

在Rt△BCD中，

cosB=BD/BC

根据上题中的结论，可知：

在Rt△ABC中,sinA=cosB，

BC/AB=BD/BC

即：BC2＝AB·BD. 【教学说明】使学生掌握正弦、余弦的综合应用. 四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.1”中第9、10 题. 教学反思

传统教学存在弊端，同时也具有不合理的元素，因此，我的课堂教学特别强调通过情景引导，使学生学会应用知识，通过探究，将学生引向知识深处，在整个过程中体现了教师的主导作用，学生的主体地位.在教学过程中，如何保证每位学生都得到发展，如何给予每个学生以发展平台，这是每位教师在课堂教学中必须做到的.

4.2正切

教学目标

【知识与技能】

使学生了解正切的概念，能够正确地用tanA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两直角边的比，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子. 【过程与方法】

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力. 【情感态度】

培养学生独立思考、勇于创新的精神. 【教学重点】

了解正切的概念，熟记特殊角的正切值. 【教学难点】

正切的应用. 教学过程

一、情景导入，初步认知

1.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，

sinA=________；cosA=________. 2.当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？

【教学说明】巩固复习，同时引入新课. 二、思考探究，获取新知

1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,则BC/AC=EF/DF成立吗？为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的

正切.记作tanα，即：

2.求tan30°、tan45°、tan60°的值. 【归纳结论】tan30°=33、tan45°=1、tan60°=3. 3. 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值分别是多少？

【归纳结论】

【教学说明】通过表格的形式进行归纳，可使学生熟记三角函数值. 4.如何用计算器求一般锐角的正切值？

例如：求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键显示的0.4663…就是25°角的正切值. 5.如果已知正切值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数. 例如：已知tanα=0.8391，求α的度数.我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数. 【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础. 6.什么是锐角三角函数？

【归纳结论】我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数. 三、运用新知，深化理解

1.求tan70°45′的值.（精确到0.0001）

解:在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出D），按下列顺序依次按，则屏幕上

键：

显示结果为2.863560231. 所以tan70°45′≈2.8636. 2.（1）求下列三角函数值：sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，tan18°31′. （2）计算下列各式：

sin25°+cos65°; sin36°·cos72°;

tan56°·tan34°

解：略

3.计算：

4.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=3/4，求BC的长

．

分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长.

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：

，其中正确的结论是______.（只需填上正确结论的序号）

分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论. ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，

∴sinA=BC/AB=1/2，故①错误；

∴∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴cosB=cos60°=1/2，故②正确；

∵∠A=30°，

∵∠B=60°，

∴tanB=tan60°=3，故④正确．

【答案】

②③④

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，AC=6，求BC，AB的长.（精确到0.001）

解：因为BC/AC=tanA=tan35°， 由计算器求得tan35°≈0.7002，

所以BC=AC·tanA≈6×0.7002≈4.201.

又AC/AB= cosA=cos35°, 由计算器求得cos35°≈0.8192，

所以AB=AC/cosA≈7.324. 7.如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到度 ).

解：tan∠ACD=AD/CD=10/19.2≈0.5208，

∴∠ACD≈27.51°. ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.51 ≈55°.

∴V型角的大小约为55°. 【教学说明】教师要强调，让每位学生必须动手操作，达到熟练的程度.从而提高学生动手操作能力，巩固所学知识. 四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.2”中第1 、2、3 题. 教学反思

三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识，如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，熟记30°、45°、60°角的三角函数值.另外通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.给学生留充分的时间,采取多种形式让学生记住特殊角的三角函数值.根式化简与负指数的运算易出错.可能会引出新的问题，因此使他们认识到对科学技术的研究将是永无止境的。

4.3解直角三角形教学

教学目标

【知识与技能】

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

【情感态度】

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

【教学重点】

直角三角形的解法．

【教学难点】

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.什么是锐角三角函数？

2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？

【教学说明】通过复习，使学生便于应用．

二、思考探究，获取新知

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边、角之间的关系：

sinA=∠A的对边/斜边 cosA=∠A的邻边/斜边 tanA=∠A的对边/∠A的邻边

(2)三边之间的关系：

a2+b2=c2 (勾股定理) (3)锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°．

3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.

解：∵∠B=90°-∠A=60°，

又∵tanB=b/a，

∴b=a·tanB=5·tan60°=53.

∵sinA=a/c，

∴c=a/sinA=5/sin30°=10. 【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边. 【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

三、运用新知，深化理解

1.见教材P122例2 . 2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．

解：a＝csin60°＝83·3/2＝12，

b＝ccos60°＝83·1/2＝43，

∠B＝30°. 3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝36，

∠A＝30°，求∠B、b、c. 解：∠B＝90°－30°＝ 60°，

b＝atanB＝36·3＝92，

. 4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝6-2，a＝3－1 ，

求∠A、∠B、 b.

5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝23，求

∠A、∠B、c. 解：由于 tanA＝ab，所以

则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×23＝43. 6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．

解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，

所以CD＝1/2BD＝1/2× 8＝4 （cm），

△ADB 是等腰三角形，

所以AD＝BD＝8（cm），

则有 AC＝8＋4＝12（cm），

BC＝ACcot60°＝ 12×33=43（cm），

AB＝(43)2+122=48+144=83(cm). 7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？

分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长. 解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，

∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，

∵AD=BD，

∴AB=2BC，AE=BE，

∴∠A=30°，

在Rt△ABC中，

∵AC=6，

，

设BE=x，则CE=6-x，

在Rt△BCE中，

∵BC=23，BE=x，CE=6-x，BE=CE+BC, ∴x2=（6-x）2+（23）2，解得x=4．

即BE=4．

【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.3”中第1、3、4 题. 教学反思

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

222第1课时

俯角和仰角问题

教学目标

【知识与技能】

比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题. 【过程与方法】

通过学习进一步掌握解直角三角形的方法. 【情感态度】

培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】

应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题. 【教学难点】

选用恰当的直角三角形，分析解题思路.

一、情景导入，初步认知

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用. 二、思考探究，获取新知

1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？

分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC. 【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m)

解：在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此

tan25°=BC/AC=BC/1000 ∴BC=1000×tan25°≈466.3(m), ∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3+1.7=468米. 【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题. 三、运用新知，深化理解

1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)

分析：利用正弦可求. 解：在Rt△ABC中sinB=AC/AB ∴AB=AC/sinB=1200/0.2843≈4221(米) 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图,α=30°，β=60°,AD=120.

答:这栋高楼约高277.1m. 3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号)

分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．

解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，

∴DE=AC=12米．CE=AD=1.5米．

在直角△BED中，∠BDE=30°，

4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)

分析：由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，故可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．

解：设AP=h米，

∵∠PFB=45°，

∴BF=PB=（h+1）米，

∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，

在Rt△PEA中，PA=AE·tan30°，

∴h=（h+6）tan30°，

∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米．

【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么. 四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.4”中第2、4、5 题. 教学反思

本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.

第2课时

坡度和方位角问题

教学目标

【知识与技能】

1.了解测量中坡度、坡角的概念；

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 【过程与方法】

通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】

进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 教学过程

一、情景导入，初步认知

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

即tanA1＞tanA. 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？

【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成. 三、运用新知，深化理解

1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．

解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．

在Rt△ABC中，cosA=AC/AB, ∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米）

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5 ∴AE=3BE=3×23=69(m)．

FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，

所以α≈18°26′. ∵BE/AB=sinα，

∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7（m）. 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

解：过点A作AD⊥BC于点D，

答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．

4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：

(1) ∠D的度数；

(2)线段AE的长．

解：（1）∵四边形BCEF是矩形，

∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，

∴∠BFA=∠CED=90°，

∵CE=BF，BF=3米，

∴CE=3米，

∵CD=6米，∠CED=90°，

∴∠D=30°. （2）∵sin∠BAF=2/3，

∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，

. 5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时

的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离. (参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)

分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．

解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里. 在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，

∴AC=PC/tan67.5°=5x/12 在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，

∴BC=x/tan36.9°=4x/3 ∵从上午9时到下午2时要经过五个小时, ∴AC+BC=AB=21×5，

∴5x/12+4x/3=21×5，

解得x=60. ∵sin∠B=PC/PB，

∴PB=PC/sinB=60sin36.9°=60×5/3=100（海里）

∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．

【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容. 四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业:教材“习题4.1”中第1、6、7 题. 教学反思

通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.

4.4解直角三角形的应用（1）

教学目标

1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2.逐步培养学生分析问题.解决问题的能力. 3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识. 重点难点

重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：根据实际问题构造合适的直角三角形. 教学设计

一.预习导学

学生通过自主预习教材P125-P126完成下列问题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）. 0 在Rt∆ABC中，∠C=90

1.若∠A=60，b=103，求a. 02.若∠B=35，c=8，用计算器求 a的值（结果精确到0.1）

设计意图：复习导入，回顾解直角三角形的相关知识，为解直角三角形的应用做铺垫。

二.探究展示

(一)合作探究

某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本125页的图4-15）.你能帮他想出一个可行的办法吗？

探究讨论：

先把图4-15抽象，并构造出直角三角形. （引导学生一起把实景图抽象成右图，教师点拨，学生动手。）

如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A 作AC⊥BD即可以构造出直角三角形. 在Rt∆ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A.B的相对高度AC即可. 0如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=40，求A.B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）. 学生上台展示

BD3500m,AE1600m,ACBD,BAC400,

BCBDAE1900m

BC在RtABC中，tanBAC AC因此，A.B两点之间的水平BC1900AC2264m距离AC约为2264m. tanBACtan400(二)展示提升

0

(首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法). 1.在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）.

设计意图：熟悉俯角、仰角的概念（都是视线与水平线的夹角），在解直角三角形题的基础上，稍加难度，学会用解直角三角形的相关知识，解决实际问题。

2.某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB.AC与地面MN所成的夹角∠ABN、∠ACN00分别为8和15，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）.

设计意图：BC不是直角三角形的一边，所以不能直接求出。设计本题的目的在于让学生学会做辅助线构造直角三角形，并能通过解两个直角三角形来解决问题。

通过质疑、追问，总结解直角三角形的应用题一般步骤：

（1）将实物图形转化为几何图形。

（2）将自然语言转化为数学语言。

（3）解直角三角形，求得解。

（4）总结作答。

0三.知识梳理

以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获. 求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求. 解直角三角形的应用题一般步骤：

（1）将实物图形转化为几何图形。

（2）将自然语言转化为数学语言。

（3）解直角三角形，求得解。

（4）总结作答。

四.当堂检测

1.一艘游船在离开码头A后，以和河岸成30角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC. 设计意图：这是解直角三角形的简单应用，直接利用解直角三角形的知识就可以求得。是展示提升题中的第1题的巩固。

0

2.有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=12，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为05. 求坡高CD（结果精确到0.1m）；

求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）.

设计意图：这道题要在Rt∆ACD中求得AD，在Rt∆BCD中求得BD的长，然后再求AB。是展示提升题中的第2题的巩固练习。

0五.教学反思

本节课通过实例让学生更深刻地理解和运用解直角三角形，把现实生活中的实际问题，抽象.转化为数学问题，从而利用解直角三角形的方法来解决。使学生在解决问题的同时，吸收数学中的转化思想，建模思想把现实问题通过数学模型转化为数学问题。

4.4解直角三角形的应用（2）

教学目标

1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度和坡角有关的问题．

2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

3.培养学生用数学的意识. 重点难点

重点：理解坡角和坡度的内涵及表示方法. 难点：实际问题中，坡度与正切.正弦等的综合运用. 教学设计

一.预习导学

学生通过自主预习教材P127-P128完成下列知识点. 如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式. 图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 . 即i= .坡度越大，山坡越陡.

设计意图：通过学生的独立学习，了解坡度的概念及它与坡角的关系。培养学生的自主学习能力。

二.探究展示

(一)合作探究

一山坡的坡度为i=1：2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡0角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）

分析：已知山坡的坡度为1：2，其实就是告诉我们BC=1；2，即tanA=1：2.由此可得出AB∠A的度数；又知AC的长，要求BC的长，可以利用∠A的正弦值求得. 解：由题意可得tanA=i=010 =0.5，因此∠A≈26.5720在Rt∆ABC中，∠B=90，∠A=26.57，AC=240m，

所以sinA=BCBC

AC2400

所以BC=240×sin26.57≈107.3（m）0答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约07.3m.

(二)展示提升

1.如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长.

设计意图：巩固坡度的概念，会用解直角三角形的知识解坡度的题型。

小组合作解决，提醒后进学生先利用坡度求出AC的长，然后再求AB。

2.如图所示，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1：3.求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）.

设计意图：此题是坡度问题的综合运用，目的在于加深学生对“坡度即坡角的正切”的理解，并能综合运用，以解决实际问题。

斜坡AD的坡角即求∠BAE的大小，

由于AD=16m，DE=8m，因此，sinDAEDE81，

AD1620 所以，DAE30

求坝宽AB，因为AB不是某个直角三角形的边，所以不好直接求得，因此可以考虑分成三段来求，即AB=AE+EF+BF

在Rt△ADE中，可以利用锐角三角函数求得AE的长

在矩形DEFC中，EF=DC=3m 在Rt△BCF中，斜坡BC的坡度i=1：3，即itanB 可以求得BF=24m 这样，AB=AE+EF+BF，可以快速求得。

CF81，

BFBF3三.知识梳理

以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获. 坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数.从而也能求得山坡的高度或水平长度.

四.当堂检测

如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1：2改为1：2.5.已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积.

五.教学反思

本堂课设置的题量不多，要达到教学目的，完成训练目标，要求学生在充分讨论的基础上，充分展示、质疑。所以学生讨论的时间要保证10分钟以上，才能达到教学效果.

4.4解直角三角形的应用（3）

教学目标

1.巩固直角三角形中的锐角三角函数，学会解关于触礁的问题．会利用方程帮助解直角三角形. 2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

3.培养学生用数学的意识. 重点难点

重点：理解触礁问题的实质. 难点：利用方程帮助解直角三角形..

教学设计

一.预习导学

学生通过自主预习教材P128-P129完成下列各题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）. 1.直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？

2.在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？

用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？

3.方位角是看样表示的？

设计意图：既有前面知识的复习，巩固解直角三角形的知识，又有新知的提炼和指导，启发学生提炼问题的本质。

二.探究展示

(一)合作探究

0如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60方向上，继续0航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？

对于这类题型，学生会有比较浓厚的兴趣，但往往解题时不得要领.这时要引导学生分析：要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与30km相比较的结果.若最近的距离超过30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于30km，则船有触礁的危险.船距灯塔的最近的距离即过点C向航线AB作垂线CD，所以先得求出CD的长. 但CD在Rt∆ACD中不能直接求出，而且在Rt∆BCD中也不能直接求出，怎么办？

（学生充分讨论后，由学生上台阐述自己的想法）

解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=xkm. 在Rt∆ACD中，

CDtanCAD,同理，在Rt∆BCDAD中，ADCDx3xtanCADtan300BDCDtanCx3x

0tan603BD

ABADBD 3x3x40

3解得x203因为203>30.因此该船能继续安全地向东航行. 设计意图：学会方位角的表示方法，渗透方程思想。

解决这类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构造直角三角形，必要时要添加合适的辅助线。

(二)展示提升

某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B0船在它的正东方向，C船在它的北偏东55方向；B船说C船在它0的北偏西35方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）. 先讨论，再展示

第一步弄明白∠CAB.∠CBA的度数和∆ABC是什么三角形

CAB905535

CBA903555

所以

C180CABCBA90，即∆ABC是直角三角形。

第二步确定设哪条边为x

，得CA-CB=40km，可以设CB=xkm，根据“C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km”则CA=x40km

然后利用锐角三角函数列出方程. 0根据∠CAB的正弦，sin3500000000BCxx，得AB

ABABsin350ACx40x40，得AB

0ABABsin550根据∠CBA的正弦，sin55所以有，xx40，可以求得x即CB的长度，进而求得AB的长。

00sin35sin55 设计意图：巩固学生对方位角的理解，同时提升问题的难度，从而使学生能更加灵活地运用锐角三角函数来解决问题，并进一步巩固方程思想在生活和应用题中的运用。

三.知识梳理

以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获. 在用解直角三角形的知识来解决实际问题时，首先要会构造合适的直角三角形. 但有时构造好三角形后，并不能直接求出我们需要的边，这时可以考虑能否借用方程和

锐角三角函数一起来求. 方程思想在数学中有着极为广泛的应用，同学要善于利用它。

四.当堂检测

如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为600和300.求BD.BC的长（结果精确到0.01m）

五.教学反思

本堂课通过学生的充分讨论、交流，了解了触礁问题的实质，以及它与锐角三角函数的联系。在学生增长知识的同时，发展了自身的能力。在调动学生积极性的同时，培养了学生学数学、用数学的能力和兴趣。