1.不等式的基本性质优质课教案整理

1.1

不等式的基本性质

一、教学目标

（一）核心素养

在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点

灵活应用不等式的基本性质.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：

ab

ab

ab

（2）判断：下列说法是否正确？

①ab,bcac

②acbcab

③acbcab

④aba3b3

⑤aba2b2

⑥ab,cdacbd

2.预习自测

（1）当x

，代数式(x1)2的值不大于x1的值. 【知识点】作差比较法

【解题过程】(x1)2(x1)x2xx(x1)

【思路点拨】熟悉作差比较法

【答案】[0,1]

（2）若cR，则ac2bc2

ab

A.

B.

C.

D.

【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】由ac2bc2，得c0，所以c20；当ab,c0时，ac2bc2. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A. （3）当实数a,b满足怎样条件时，由ab能推出【知识点】作差比较法

11ba11【解题过程】，因为ab，所以当ab0时，. ababab11? ab【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】当ab0时，

(二)课堂设计

1.问题探究

探究一

结合实例，认识不等式

●活动①

归纳提炼概念

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动②

认识作差比较法

关于实数a,b的大小关系，有以下基本事实：

如果ab，那么ab是正数；如果ab，那么ab等于零；如果ab，那么ab是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：abab0;abab0;abab0，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点. 11. ab

●活动③

了解作差比较法的步骤

例1 试比较已知x≠0，求证：(x2－1)2＜x4＋x2＋1.

【知识点】作差比较法

【解题过程】

第一步：作差

(x2－1)2－(x4＋x2＋1)

第二步：变形 x4－2x2＋1－x4－x2－1＝－3x2

第三步：定号

－3x2＜0

第四步：结论(x2－1)2＜x4＋x2＋1.

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？

第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等. a2－b2a－b即使突破

设a>b>0，求证：22>

a＋ba＋b【知识点】作差比较法

【解题过程】

a2－b2a－ba－b[a＋b2－a2＋b2]2aba－b证明：法一：2＝＝2>0，所以原不等式成立．

2－22a＋ba＋ba＋ba＋ba＋b2a＋b左边a＋b22ab法二：∵a>b>0，故a>b>0.故左边>0，右边>0.∴＝22＝1＋22>1. 右边a＋ba＋b22∴原不等式成立.

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式. 探究二

探究不等式的基本性质

●活动①

认识不等式的基本性质

我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等. 由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质. （1）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba. （2）如果ab,bc，那么ac.即ab,bcac.

（3）如果ab，那么acbc. （4）如果ab,c0，那么acbc；如果ab,c0，那么acbc. （5）如果ab0，那么anbn(nN,n2). （6）如果ab0，那么nanb(nN,n2). 通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向. 对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：

证明：如果ab,c0，则ab0,c0，所以acbcc(ab)0，即acbc，acbcc(ab)，同理如果ab,c0，那么acbc. 思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向. 【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫. ●活动②

巩固理解，拓展延伸

上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：

（1）如果ab,cd，那么acbd；

（2）如果ab0,cd0，那么acbd；

（3）如果ab0,ab，那么11. ab对于上述（2），可由如下方法证明：

acbd(acbc)(bcbd)c(ab)b(cd)0，所以acbd. 【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识. 探究三

不等式性质的应用

●活动①利用不等式的性质辨别不等式的正误

例2 对于实数a，b，c判断下列命题的真假．

(1)若a>b，则ac

(2)若ac2>bc2，则a>b；

(3)若aab>b2；

(4)若a|b|；

(5)若c>a>b>0，则ac－ac－b>b.

【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】

(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．

(2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0，

∴a>b，故该命题是真命题．

aab；

a<0ab2，

b<0∴a2>ab>b2，故该命题是真命题．

(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．

a＞b＞0⇒－a＜－b＜0

(5)

c＞a＞b＞0⇒0

⇒

11＞＞0c－ac－b



a＞b＞0ab＞，

c－ac－b故该命题是真命题．

【思路点拨】本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．

⇒【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断

即使突破

若a＞b＞c，则下面不等式中一定成立的是(

) A．a|c|＞b|c|

C．a－|c|＞b－|c|

B．ab＞ac

111D.＜＜

abc解析：选项A需要c≠0，选项B需要a＞0，选项D需要a，b，c同号．

答案：C

【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】解析：选项A需要c≠0，选项B需要a＞0，选项D需要a，b，c同号．

答案：C

【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断. ●活动②利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

x例3 已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________．

y【知识点】不等式的基本性质；

【解题过程】x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的取值范围；

x11＝x×，所以需先求出yyy的取值范围．

111∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，33＜y＜28. 60x84又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，33＜y＜28. 即20x＜＜3.

11y1【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，利用不等式性质，先求－y和y的取值范围，再求x－yx和y的取值范围．

20x【答案】

27＜x－y＜56

11＜y＜3 即使突破

已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求3a－b的取值范围．

【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】设3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b. x＋y＝3，x＝1，∴∴

x－y＝－1，y＝2.由①＋②×2得：－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤1＋3×2，

即1≤3a－b≤7.

【思路点拨】熟悉不等式的基本性质

【答案】1≤3a－b≤7.

【设计意图】使学生掌握利用不等式的性质求代数式的取值范围

●活动③利用不等式的性质证明不等式

例4

若a>b>0，c；

a－cb－d

【知识点】不等式的基本性质；

【解题过程】

∵c－d>0，

∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.

(*) 由(*)式知11<. a－cb－d又∵e<0，∴ea－cb－d>e. 2【思路点拨】本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答本题可先比较a－c与b－d，(a－c)与(b－d)的大小，进而判断21111与，的大小，再两边同乘以负数e，得出要证明的结论．

2与a－cb－da－cb－d2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式. ee.即使突破

若a>b>0，c

2>a－cb－d2【知识点】不等式的基本性质；

【解题过程】

∵c－d>0，

∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.

(*) 由(*)式知(a－c)2>(b－d)2>0，

∴11. 2>b－da－c2ee又∵e<0，∴. 2<b－da－c2即ee. 2>a－cb－d2【思路点拨】可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

【设计意图】巩固所学，使学生熟练掌握利用不等式性质

（三）课堂练习

1．若a＜0，－1＜b＜0，则有(

) A．a＞ab＞ab2

C．ab＞a＞ab2

B．ab2＞ab＞a

D．ab＞ab2＞a

【知识点】不等式的基本性质；

【解题过程】∵a＜0，－1＜b＜0，

∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1，

∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0. ∴ab＞a.

又ab－ab2＝ab(1－b)＞0，

∴ab＞ab2. 又a－ab2＝a(1－b2)＜0，

∴a＜ab2.故ab＞ab2＞a. 答案：D 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断. 2．有以下四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0. 11其中能使＜成立的有________个条件．

ab【知识点】不等式的基本性质；

【解题过程】①∵b＞0，∴b＞0. 111∵a＜0，∴＜0.∴＜. aab11②∵b＜a＜0，∴＞. ba11③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0. ab11∴＞. ab11④∵a＞b＞0，∴＜. ab

11综上知，①②④均能使＜成立．

ab答案：3 1【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【设计意图】掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断. 3．已知一次函数f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．

【知识点】不等式的基本性质；

【解题过程】解：法一：(不等式基本性质) －1≤－a＋b≤2，

①∵

－2≤2a＋b≤3.

②

14又∵f(3)＝3a＋b＝－(－a＋b)＋(2a＋b)，

33

1013∴－≤f(3)≤. 33－1≤－a＋b≤2，法二：(线性规划)因为

－2≤2a＋b≤3，

所以点(a，b)所表示的区域如图阴影所示，

又∵f(3)＝3a＋b，

41所以由线性规划知识可知，当(a，b)在D3，3位置时f(3)取得最42－，位置时f(3)取得最小值，

B331013∴－≤f(3)≤. 33法三：(利用斜率公式) ∵P1(－1，f(－1))，P2(2，f(2))，P3(3，f(3))三点共线，∴kP1P2＝kP1P3. ∴f2－f－1f3－f－1＝. 2－－13－－1大值；在14∴f(3)＝－f(－1)＋f(2)．

33又∵－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，

1013∴－≤f(3)≤. 33【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【设计意图】让学生严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；注意整体代换的思想

（四）.课堂总结

知识梳理

（1）abab0;abab0;abab0. （2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论. （3）不等式的基本性质. 重难点归纳

（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假. （2）灵活应用不等式的基本性质. （五）课后作业

基础型

自主突破

1.设a,bR, 则

“(ab)a20”是“ab”的（

）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【知识点】不等式的性质；充分必要条件

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】若(ab)a20，则ab；若ab，则(ab)a20，所以“(ab)a20”是“ab”的充分而不必要条件. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A 2.不等式lgx2lg2x的解集是（

）

11,1)

B.(100,)

C.(,1)A.(100100【知识点】不等式性质及对数运算. (100,)

D.(0,1)(100,)

【解题过程】：由lgx2lg2x

2lgxlg2x

lgx2或lgx0

x100或0x1

【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0. 【答案】D 能力型

师生共研

3.已知命题p:x[1,2],x2a0，命题q:xR,x22ax2a0，若命题pq是真命题，则实数a的取值范围是（

）

A.a2或a1

B.a2或1a2

C.a2

D.2a1

【知识点】命题及不等式

【数学思想】化归与转化思想

【解题过程】命题p为真命题时，要使x[1,2],x2a0，只需a(x2)min，因为x[1,2]，所以1x24，所以(x2)min1，所以a1①；命题q为真命题时，xR,x22ax2a0，即x22ax2a0有实数根，所以(2a)24(2a)0，解得a2或a1②.因为pq是真命题，所以p,q均为真命题.①②取交集得a2或a1. 【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题

【答案】A 4.已知a,b,cR，给出下列命题：

ab①若ab，则ac2bc2；②若ab0，则2；③若ab0,nN，则anbn；

ba④若logab0(a0,a1)，则a,b中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（

）

A.2

B.3

C.4

D.1 【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质. 【解题过程】当c0时，ac2bc20，所以①为假命题；当a与b异号时，ab0，0，ba所以②为假命题；因为ab0,nN，所以anbn，③为真命题. ④若logab0(a0,a1)，则有可能a1,0b1或b1,0a1，即a,b中至少有一个大于1.是真命题. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质

【答案】A 探究型

多维突破

5.已知ab0，则下列不等式中总成立的是（

）

A.a1111bb111

D.ba

b

B.ab

C.baabaa1ba1b1110,ab. aba【知识点】不等式的性质

【解题过程】ab0,【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A 自助餐

6.如果a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项不恒成立的是（

）

A.abac

B.cb2ab2

C.cba0

D.acac0

【知识点】不等式的性质. 【解题过程】ca且ac0，故c0,a0，由不等式的性质知A，C，D都恒成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】B 7.若2a4,3b5，则3ab的取值范围为

，【知识点】不等式的性质

【解题过程】因为2a4,3b5，所以63a12,5b3，所以

13ab9；

2ab的取值范围为

. b

42a8,11142a892a1192ab11，所以，所以1，即. 5b35b35b35b3【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件. 911【答案】[1,9)；[,)

53