探究与发现 组合数的两个性质教学内容分析

高中数学选修2-3 《探究与发现

组合数的两个性质》教学设计

教学目标

（一）知识与技能

1．掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质解决一些实际问题；

2．培养学生发现知识、应用知识的能力，培养独立分析问题、解决问题的能力，培养良好思维与学习习惯。

（二）过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过具体的实例观察、分析, 归纳总结出组合数的两个性质，培养学生从特殊到一般的重要思想方法。

（三）情感、态度与价值观

从具体实例入手，激发学生的学习学习兴趣和学好数学的信心，从而更加热爱数学。鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，提升学生的数学思维品质。

学情分析

本节课是人教A版高中数学(选修2-3)第一章(计数原理)排列与组合中的“探索与发现”的内容“组合数的两个性质”是学生学习了排列、组合以及组合数公式等知识的基础上提出来的，与数学的归纳法有内在的联系。通过性质的学习，一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力，简化组合数的计算.另一方面也为以后学习“二项式定理”等内容提供理论基础。故组合数的性质是一个承上启下的内容。本节课具有较高的应用价值和思维训练价值，

所以，教学中既要关注组合数性质的结果，也要关注学生对性质的探索发现过程和证明思路的分析过程，努力营造学生自主探究的情境,发挥他们的自主精神，尽力引导学生的发现和创新意识，

让他们能再创造的学习。

从学生的认知角度看,学生很容易在应用性质2的公式时出错。虽然公式很简洁，也具有很大的一般性，但是会给学生带来领悟和学习上的困难，所以理解和领悟性质2的本质是这节课的难点。

重点难点

教学重点：组合数的两个性质及其应用。

教学过程

一、复习引入：

1、组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

说明：(1)不同元素；(2)“只取不排”——无序性；（3）相同组合：元素相同

1

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元m素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示。

3．组合数公式的推导：

m（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：①

先求从n个mm不同元素中取出m个元素的组合数Cn；②

求每一个组合中m个元素全排列数An，根据分步计数mmm原理得：An＝Cn．

Am（2）组合数的公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1)n!m(n,mN*,且mn)【来…中&或CnCmm!(nm)!Amm!mn高*考*网】

二、讲解新课：

mnm12

组合数的性质1：Cn．

Cn一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n

- m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m．．．．mnm个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：Cn．在这里，主Cn要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：∵Cnnmn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!

又Cnmn!mnm,CnCnm!(nm)!来源:Zxxk.Com]0说明：①规定：Cn1；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

x③CnCnyxy或xyn．

mmm12．组合数的性质2：Cn．

1CnCn一般地，从a1,a2,m,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,m1-1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m ,an1这n个元素中取出m个元

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m素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：CnCnmm1n!n!n!(nm1)n!m

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!m!(nm1)!(nm1m)n!(n1)!mCn1

m!(nm1)!m!(nm1)!mmm1

Cn1CnCn典例分析

3456例1.（1）计算C7

C7C8C9nnn1n2（2）求证：Cm2Cm2CmCm．

4565664解：（1）原式C8C8C9C9C9C10C10210；

nn1n1n2nn1n证明：（2）右边(CmCm)(CmCm)Cm1Cm!Cm2x12x3例2．解方程：（1）C13；（2）解方程：Cx2Cx2C13x2x3左边[来源:学科网]

13Ax3．

10【来源：全,品…中&高*考*网】解：（1）由原方程得x12x3或x12x313，∴x4或x3，

1x113

又由12x313得2x8且xN*，∴原方程的解为x4或x5

xN*上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x4和x5代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为Cx3x21313(x3)!(x3)!5Ax3，即CxAx3，∴，310105!(x2)!10x!

【来源：全,品…中&高*考*网】

∴，11120(x2)!10x(x1)(x2)![来源:学科网ZXXK]∴xx120，解得x4或x3，

例3.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1 名女运动员；

（3）队长中到少有1 人参加；

3 2

（4）既要有队长，又要有女运动员。

经检验：x4是原方程的解 解题导引（1）区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．

（2）解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题．

3解

（1）第一步：选3名男运动员，有C6种选法．

2第二步：选2名女运动员，有C4种选法．

32共有C6＝120(种)选法．C4[来源:Z*xx*k.Com]

【来源：全,品…中&高*考*网】（2）“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．

55从10人中任选5人，有C10种选法，其中全是男运动员的选法有C6种．

55所以“至少有1名女运动员”的选法有C10-C6＝246(种)．

5（3）从10人中任选5人，有C10种选法．

5其中不选队长的方法有C8种．

55所以“至少1名队长”的选法有C10-C8＝196(种)．

44（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C9种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C8444种选法．其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时共有C8种选法．故既要有队长，C5444又要有女运动员的选法有C9

191(种)．

C8C5mnmmm课堂小结：本节课学习了组合数的两个性质Cn

CnCn1Cn1mCn

课堂练习：

121．计算C4C517等于( ) C2017171818A．C21

B．C21

1

C．C211

D．C21012解析：选B．原式＝(C4C4)C523(C6C6)1712C201(C5C5)17C201

17161717C201C20C201C211

2．从A，B，C，D，E五人中选出2人参加演讲，共有选法的种数为( ) A．20

B．10

C．15

D．5 解析：选B.共有选法C5

4 25410

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