1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课件配套优秀教案案例

《独立性检验的基本思想及其初步应用》

一、教学目标

①知识与技能目标

通过生活中案例的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

②过程与方法目标

通过探究，引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤。设计教学情境，使学生在观察、讨论等活动中，逐步提高数据处理、分析能力。

③情感态度价值观目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。

二、教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

三、教学难点：

①了解独立性检验的基本思想；

22②了解随机变量K的含义，K的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的。

四、教具 多媒体平台、三角板

五、教学过程

[高考考点] 考查学生统计思想，通过独立性检验，重点考查学生的数据处理能力和统计推断能力，解决实际问题。

[知识梳理] 1．独立性检验

(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：

x1

x2

总计

(2)K2观测值

nad－bc2k＝

(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量) a＋bc＋da＋cb＋dy1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

附：临界值表供参考

Px2k0

0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1

[基础训练] 1．国家实行二孩生育政策后，为研究家庭经济状况对生二胎的影响，某机构在本地区符合二孩生育政策的家庭中，随机抽样进行了调查，得到如下的列联表：

经济状况好

经济状况一般

合计

20

50

110

210

愿意生二胎

不愿意生二胎

合计

请完成上面的列联表。

解：由已知锝2×2列联表：

经济状况好

经济状况一般

合计

50

20

70

50

90

140

100

110

210

愿意生二胎

不愿意生二胎

合计

2．为了解大学生观看浙江卫视综艺节目“奔跑吧兄弟”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：

女生

男生

合计

喜欢看“奔跑吧兄弟”

10

不喜欢看“奔跑吧兄弟”

5

合计

50 若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“奔跑吧兄弟”的有6人．请将上面的列联表补充完整。

6【解析】(1)由分层抽样知识知，喜欢看“奔跑吧兄弟”的同学有50×＝30人，故不喜欢看“奔跑吧兄10弟”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：

女生

男生

合计

喜欢看“快乐大本营”

20 10 30 不喜欢看“快乐大本营”

5 15 20 合计

25 25 50

2

[例题分析] 例题：某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)

(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：

总计

总计

(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并说明你的理由。

[解析]

(1)2×2列联表如下：

50岁以下

50岁以上

总计

2主食蔬菜

主食肉类

4

16

20

8

2

10

总计

12 18 30 30×8－1282(2)因为K＝＝10>6.635，

12×18×20×10所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

[思维升华]

1．解决独立性检验问题的一般步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

nad－bc2(2)根据公式K＝，计算K2的值．

a＋bc＋da＋cb＋d2(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断．

2．注意易失误点

应用独立性检验方法解决问题，易出现不能准确计算K2值的错误．

3

[母题变式] (1)若本例中条件不变，能否说有99%的亲属的饮食习惯与年龄有关？

解析：这种说法不正确．能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，是这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有“99%的亲属的饮食习惯与年龄有关”无关．

(2)若本例中条件不变，求认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性为多少？

30×8－1282解析：因为K的观测值k＝＝10>6.635，所以认为其亲属的饮食习惯与年龄12×18×20×102有关出错的可能性为1%. (3)若本例中条件不变，能否说有99.9%的亲属的饮食习惯与年龄有关？

30×8－1282解析：因为K＝＝10＜10.828 12×18×20×102所以没有99.9%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．

【相似高考题】

【2017课标II，文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50kg

4

箱产量≥50kg

总计

总计

根据箱产量的频率分布直方图得列联表：

旧养殖法

新养殖法

总计

2箱产量＜50kg

62 34 96 箱产量≥50kg 38 66 104 总计

100 100 200 200(62663438)2K15.7056.635, 10010095104所以，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

[巩固提高] 1.(选修1－2·习题1.2A组改编)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

男

女

理科

13

7

文科

10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值

50×13×20－10×72k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．

23×27×20×30

答案：5% 2.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到如下22列联表：

男生

女生

合计

喜欢游泳

20

不喜欢游泳

10

合计

3已知在这100人中随机抽取一人抽到喜欢游泳的学生的概率为．

5请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；

5

3解：由已知可得：喜欢游泳的人共有10060，不喜欢游泳的有：1006040人，

5又由表可知喜欢游戏的人女生20人，所以喜欢游泳的男生有602040人，

不喜欢游戏的男生有10人，所以不喜欢的女生有401030人．

由此：完整的列表如下：

男生

女生

合计

2喜欢游泳

40 20 60 不喜欢游泳

10 30 40 合计

50 50 100 100(40302010)250K10.828, 604050503∴有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．

3.

近年来某市空气污染较为严重.现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：

PM2.5

空气质量

天数

[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250]优

4 良

13 轻微污染

18 轻度污染

30 中度污染

9

(150,300]>300

中度重污染

重度污染

11 15 若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？

供暧季

非供暖季

合计

非重度污染

重度污染

合计

100

解：根据以上数据得到如下列联表：

供暧季

非重度污染

22 重度污染

8 6

合计

30

2非供暖季

合计

63 85 7 15 70 100 2100(638227)K的观测值k4.5753.841, 85153070所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．

[小结]

1．独立性检验

(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：

x1

x2

总计

2y1

a c a＋c y2

b d 总计

a＋b

c＋d

b＋d a＋b＋c＋d

nad－bc2(2)K观测值k＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量) a＋bc＋da＋cb＋d2．解决独立性检验问题的一般步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

2nad－bc(2)根据公式K2＝，计算K2的值．

a＋bc＋da＋cb＋d(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断．

3．注意易失误点

应用独立性检验方法解决问题，易出现不能准确计算K2值的错误．

[作业]

某大学高等数学老师这学期分别用A,B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：

[来源:Zxxk.Com]

学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下7

面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

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