3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2

《复数代数形式的乘除运算》教学设计

【教学目标】

关键知识能力：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，理解两个复数相乘类似于两个多项式相乘，理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题.

必备品格：通过学习使学生深刻理解数的发展，进一步加强对于数学体系的构建，体会数学的严密性逻辑性，加强数学素养，培养数学运算和创新能力. 【教学重难点】

重点：复数代数形式的乘除运算.

难点：对复数除法法则的运用. 【教学方法】

启发式教学法，互动探究法. 【教学过程】

一、复习引入 1.

复数的概念

2.

复数的加减法

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） （1）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. （2）减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.

引入新课

二、讲解新课

（一）复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实两个复数相乘，类似两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. （二）乘法运算律

师：复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗? 生：(1)z1·z2＝z2·z1.

(2)z1(z2z3)=(z1z2)z3 . (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

(4)zzzmnmn2. （三）应用练习

例1.计算(1-2i)(3+4i) 2解：(1-2i)(3+4i)＝3-6i+4i-8i=11-2i

注：复数的乘法与多项式的乘法是类似的.

1

例2.计算：

2（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i).

22解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; 22(2)

（1+i)=1+2i+i=1+2i-1=2i. 注：由于复数的运算满足运算律，所以复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式．如平方差公式，完全平方公式等．

（四）共轭复数：

1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表达形式：通常记复数z的共轭复数为z. 练习：说出下列复数的共轭复数：

（1）12i；

（2）3；

（3）2i；

（4）3.师生探究：

思考:若z, z是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)zz是怎样的一个数? 生：（1）关于实轴对称

（2）zzab，即：乘积的结果是一个实数.

（五）除法运算规则

满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者221i. 2abi. cdi22利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将abi的分母实数化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i222cdcd

22师：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d是正实数.所以可以分母"实数"化. 把这种方法叫做分母实数化法.复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a＋bi(a，b∈R)的形式即可．

3.方法总结：

①

先写成分式形式

2

②然后分母实数化即可.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数，有时不一定乘共轭复数，只要是能使“分母实数化” 的因式即可.) ③化简成代数形式就得结果

4.

应用练习

（请学生板演）计算：（1）；（2）三、进阶练习

1.若z(1i)1i，则z

. 2.已知aR,za3i,zz4,则a . 3.已知1i7i. 34ia2ibi(a,bR),则ab . i四、课堂小结

1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？

3、复数除法的运算法则是什么？

五、布置作业

1.教材P60练习题1、2题

2.教材P61习题3.2A组4、5题

六、拓展提升

虚数单位i的周期性

232018探究：计算i＋i＋i＋…＋i. i1= ，i2= ，i3= ，i4= ，

i= ，i= ，i= ，i= . 4n14n24n34n4iii1iii1nN.结论：（1），，，5678

（2）ii

nn1in2in30nN.

3