3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学内容

高中数学第十五章

复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15. 复

数

知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21. ⑵复数及其相关概念：

①

复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

②

实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③

虚数—当b0时的复数a + bi；

④

纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi. ⑤

复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥

复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件（当.

(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2. 其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）. ⑵曲线方程的复数形式：

①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.

③zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若用心

爱心

专心

2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.

④zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则

①z1z2z1z2z1z2. 左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.

②z1z2z1z2z1z2. 左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）. 注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An. 3. 共轭复数的性质：

zz

z1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi）

zz|z|2|z|2

z1z2z1z2

z1z2z1z2

z1z2z1（z20）

zn(z)n

z2注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ⑴①复数的乘方：znzzz...z(nN)

n②对任何z，z1,z2C及m,nN有

n③zmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nzn1z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由i211(i4)2121就会得到11的错误结论. ②在实数集成立的|x|x2. 当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

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(1i)22i,1i1ii,i

1i1i131n1n方3虚数根，1,2,,12即0,n20(niZ)，22则

. 5.

⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

①zRzz. ②若z0，z是纯虚数zz0. ⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 若是1的立注：|z||z|.

6. ⑴复数的三角形式：zr(cosisin). 辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz. 注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值. ②辐角是多值的，都相差2的整数倍. ③设aR,则arga0,arg(a),argai⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

abir(cosisin)，ra2b2，cos3,arg(ai). 22ab,sin. rr⑶几类三角式的标准形式：

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(sinicos)r[cos()isin()]

227. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题：

①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2x1,2b；若=0，则有二相等实数根2ab||ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）. 2a2a②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：

r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)]

r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)]

r2(cos2isin2)r2棣莫弗定理：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn).

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