3.三个正数的算术-几何平均不等式名师课堂实录

湖南省耒阳市第二中学教学设计

【三个正数的算术-几何平均不等式】

学科：数学

年级：高三 主备教师：张子龙 一、教材分析：基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、教学目标： 1、知识与技能：掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值； 2、过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。 3、情感、态度与价值观：

通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；

三、教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；

四、教学难点：解题中的转化技巧。

五、教学准备

1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。 3、教具选择：

多媒体 六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程

1、自主导学： 温故知新：两个正数的均值不等式

abc3abc

（当且仅当引入新课：猜想对于3个正数如果a,b,cR，那么3abc时取“=”）是否成立？

2、合作探究

（1）分组探究： 探究1a、b、c∈R+, 那么a3+b3+c3≥3abc, 当且仅当a=b=c时, 等号成立即可（参考公式:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)）

证明: 333abc3abc

(ab)33a3b3ab2c33abc

(ab)3c33a3b3ab23abc22(abc)(ab)(ab)cc3ab(abc)222(abc)a2abbacbcc3ab(abc)(a2b2c2abbcca)

对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到

abc3abc

，当且仅当abc时取“=”

定理3

如果a,b,cR，那么3语言表述：

三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

(2)定理3a＋b＋c3可变形为：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc 3推广：

a1a2an≥

nN*,aiR,1in

n语言表述：

（2）教师点拨：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.

3、巩固训练：

例1：已知x、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz xyz3

证明：因为xyz>0，3

3所以（x+y+z）

xyz，27

3即（x+y+z）27xyz

例2 将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则

314x(a2x)(a2x)2a3

[]4327

a2a3当且仅当4xa2x,x时,Vmax

（师生共同总结此题规律。）

aVx(a2x)2,(0x)21V4x(a2x)(a2x)4627例3 求函数 2（x>03）的最小值? y2x3x解:f(x)＝2x2＋x

33333

＝2x＋2x＋2x≥32x2·2x·2x

233

＝236，

3336332当且仅当2x＝2x＝2x，即x＝2时取等号，此时函数取最小值236. （师生共同总结此题规律。）

4、拓展延伸： ab0,计算a8的最值b(ab)

1的最小值。(a2)(b3)

(1)．若a2,b3,求ab(2)．若20x1,求x(1x)的最大值

(3)．（参考例6）设5、师生合作总结： abc3abc,3

当且仅当abc时，等号成立。a＋b＋c3

定理3可变形为：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc 3(1) 若a,b.cR,那么(2)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析。

(3)运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号。

八、课外作业：

P10习题1.1第11，12，13题

1 .求函数yx4(x1)的最小值。

2(x1)2. (3)当0x1时,求函数yx(1x2)的最大值.

3.求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.

九、板书设计：

§4.5.1 三个正数的算术—几何平均不等式

定理：

注意点：

例1

例2 练习：

十、教学反思：（注：教学实施后写）

学生在运用均值不等式解题时，不能很好地同时注意到“一正二定三相等”这三个缺一不可的条件，所以往往要出错，有时甚至没有思路，不懂得如何拆分，构造我们所需的三个条件，需加强练习。

其中构造定值需要的配凑手段，学生往往卡在这里动不了。