3.三个正数的算术-几何平均不等式课件配套优秀公开课教案设计

课题

课型

学习

目标

第六章 第4课时 基本不等式

高三复习课

编定人

刘美容

执教时间

年 月 日

ab

1、了解基本不等式ab的证明过程；

知识

2目标

2、会用基本不等式解决简单的最值问题。

能力

通过对基本不等式的应用，培养学生的推理论证能力及灵活运用数学知识、思想和方法（化目标

归思想、分类讨论思想）提出问题、分析问题和解决问题的能力。

情感

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇目标

于探索精神。

掌握用基本不等式求最值问题的一些技巧。

用基本不等式求最值问题。

自主探究学习、学案导学

教学手段

多媒体辅助

师 生 活 动

展示考纲要求，让学生了解本节课应该掌握哪些内容，把握住重点。

复习基础知识，唤醒学生对基本不等式的记忆

重点

难点

教学方法

教 学 过 程

考纲展示：1、了解基本不等式abab的证明过程；

2 2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

一、教材回顾，夯实双基

（一）基础梳理

a＋b1．基本不等式：ab≤

2（1）基本不等式成立的条件：

a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号．

2．常用的几个重要不等式

（1）ab2ab22a,bR；

（2）ab(ab2)2a,bR；

a2b2ab2（3）()

a,bR；

22（4）ab2baab0； 上述四个不等式等号成立的条件是：a=b 3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述2为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

1

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最

小)

p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

4

（二）课前热身

课前热身的题目1要求学生上课之1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(

) x前完成，上课时A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B．(0，＋∞) 叫一名学生回答，若有问题，C．[2，＋∞)

D．(2，＋∞) 学生纠正，讲解。

2．已知x，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为(

)

1111

A.

B.

C.

D.

48216

3．(2011·高考上海卷)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

)

A．a2＋b2＞2ab

B．a＋b≥2ab

112baC.＋＞

D.＋≥2

ababab

4．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则

ab的最大值为________．

5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，

最大的一个矩形的面积为________．

二、考点探究，讲练互动

例1的三个变式1例1．（课前热身1）函数y＝x＋(x＞0)的值域为(

) x让学生独立完成并总结，本题重A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B．(0，＋∞) 点是让学生对应C．[2，＋∞)

D．(2，＋∞) 用基本不等式所4满足的条件加深变式1.已知x<0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为__________；

x印象，即：一正、技巧1：当变量是负数时，先利用相反数将其转化为正数，再利用基本不等式解决。

二定、三相等

1变式2.已知x＞1，求f(x)＝x＋的最小值；

x－1

技巧2：凑项。见和想积，求和时应使两项的乘积为定值。

1变式3.已知x2，求函数y＝x＋的最小值。

x

技巧3：在利用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合双勾函数

2

bf(x)ax(a0,b0)的单调性。

x【题后感悟】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：一正、二定、三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出现错误的地方．

例2. （课前热身2）已知x，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为(

) 1111A.

B.

C.

D.

48216技巧4：凑系数。见积想和，求积时应使两项的和为定值。

2练习：已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值。

5x27x10例3.

已知x1，求f(x)的最小值。

x1技巧5：分离。分式函数求最值，通常直接将分子变量项配凑成与分母相同（常用于分子所含变量的次数比分母所含变量的次数大或相等时），然后将式子裂项，化为yAg(x)求最值。

Bm(A0,B0),g(x)恒正或恒负的形式，再利用基本不等式g(x)2x的最大值为__________；

x＋12变式：当x＞0时，则f(x)＝

82例4.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值．

xy错解：xy2xy,xy1821688，216

2xyxyxy1282()min16

xy错因：解法中两次利用基本不等式，但是取等号的条件不一致，导致错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤。

总结：若在同一题目中，两次或两次以上利用基本不等式，等号应同时成立．

技巧6：代换变形。利用题目当中的已知条件，对要求解的代数式加以代换变形，使之符合基本不等式的条件，再利用基本不等式求解。

一名学生回答，

鼓励学生探究方法，多角度分析解决问题。

学生独立探究、操作。

给出一种错解，让学生观察是否有问题，如有问题找出错误的原因

3

变式1：（2012年浙江卷文9）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) 三位学生板演。

学生自学、探究，2428A.

B.

C．5

D．6 对学生可能出现55的问题，组织学变式2：（2010年重庆卷理7）已知x >0，y >0, x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（

）

生讨论、交流、纠正，强化步骤911A.3

B.4

C.

D.

的规范过程。

22

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元学生讨论、总结，函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直完善方法。

接用基本不等式，将已知条件转换为含x+2y的不等式，进而解得x+2y的范围。

变式3：（2011年浙江理16）设x,y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最

大值是

。

三、拓展提高

11例5（2010年四川文11）设ab0，则a2的最小值是（

）

教师引导，学生

aba(ab)合作探究，培养

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4 学生探究能力，

教师做最后总

结及强调。

11变式：（2010年四川理12）设abc0，则2a210ac25c2

aba(ab)

的最小值是（

）

（A）2

（B）4

（C）25

（D）5

四、归纳总结

鼓励学生反思课1.我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一堂全程，教师引些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

导学生总结研讨2.本节课所含重要思想方法：化归思想

体会。

五、作业设计

课时达标检测A本P261-262 《基本不等式》

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