二 综合法与分析法优质课教案内容

综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法:

多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3.

教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

4．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题： 已知a,b,c0,且不全相等,求证a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

. P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.

综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,

a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将

A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；

a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由

A, B, C成等差数列，有

2B=A + C ．

①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．

⑧

由①②

，得B=2. 32由a, b，c成等比数列，有bac. 由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac.

再由④，得acacac. 22(ac)20,

因此ac. 从而A=C.

由②③⑤，得

A=B=C=. 3所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例2 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证(1a1)(1a2)(1an)2n

2. 分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论

Q 出发，反推回去，寻求保证

Q 成立的条件，明尸

2 成立，再去寻求尸

2 成立的充分条件尸

3 件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸

1 成立的充分条件尸

2 ；为了证

…

…

直到找到一个明显成立的条件（已知条即使

Q 成立的充分条件尸

1 ．为了证明尸

1 成立，

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法

用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：执果索因

分析法的书写格式：

要证明命题B为真，

只需要证明命题B1为真，从而有……

这只需要证明命题B2为真，从而又有……

……

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故命题B必为真

例3 求证2736

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法

②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，

这只需要证明命题B1为真，从而有……

这只需要证明命题B2为真，从而又有……

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故B必真

在本例中，如果我们从“14<18”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“14<18”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特

点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若‘‘由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．．

说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的

巩固练习：第81页练习1

, 2

, 3 ‘‘1、a,b,cR,求证abbcac2(abc)222222

2、ABC中，已知3b23asinB，且cosBcosC求证：ABC为等边三角形3、a,b,c为ABC的三内角的对应边aAbBcC试证明:abc2课后作业：第84页

1，2,

3 教学反思：