二 综合法与分析法教学实录

综合法与分析法——分析法

一、教材分析 1教材背景

生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。

2地位与作用

《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。

现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。

二、学情分析 1．有利因素 学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。

2．不利因素 学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。

三、目标分析

根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下：

1知识目标 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。 2能力目标 通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。 3德育目标 通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。 四、

重点：了解分析法的思考过程、特点。

难点：分析法

的思考过程、特点

五、学习方法：探析归纳，讲练结合

六、学习过程

(一)、复习：直接证明的方法：综合法。

（二）、引入新课

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法

用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：执果索因

分析法

的书写格式：

要证明命题B为真，

只需要证明命题C 为真，从而有……

这只需要证明命题D 为真，从而又有……

……

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故命题B必为真

（三）、例题讲解：

例1：已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点.求证：HG⊥EF.

证明：考虑待证的结论“HG⊥EF”

. 根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF，

只要证明△EHF为等腰三角形，即EH=HF.

根据条件CF⊥AB，且H为BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线. 1FHBC2所以. 同理HE1BC2. 这样就证明了△EHF为等腰三角形. 所以

HG⊥EF. 3322例2、已知：a，b是不相等的正数。求证：ababab

。

3322证明：要证明ababab

22(ab)(aabb)ab(ab)，

只需证明

22(ab)(aabb)ab(ab)0，

只需证明

22(ab)(a2abb)0，

只需证明

2(ab)(ab)0，

只需证明

2(ab)0且(ab)0。

只需证明

由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保证上式成立。

这样就证明了命题的结论。

例3、求证

3725

证明：因为37和25都是正数，所以为了证明3725

只需证明(37)2(25)2

展开得 1022120

即 22110,2125

因为2125成立，所以

(37)2(25)2成立

即证明了3725

设计意图：选择三个例题的目的是一是为了让学生了解分析法的思考过程及特点，二是提高学生分析法的运用能力。培养学生思考，分析，归纳的习惯，以及提高学生合作交流的能力。

（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看

，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程. （五）课堂练习

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的(

) A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件

2．下列表述：

①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；

④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．

其中正确的语句有(

) A．2个B．3个C．4个D．5个

3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(

) a4＋b4A．2ab－1－ab≤0

B．a＋b－1－≤0 22222a＋b2C.－1－a2b2≤0

D．(a2－1)(b2－1)≥0 24．欲证2－3<6－7成立，只需证(

) A．(2－3)2<(6－7)2

B．(2－6)2<(3－7)2

C．(2＋7)2<(3＋6)2

D．(2－3－6)2<(－7)2

设计意图：通过这一组很基础的训练题，让学生感受到直接证明与不等式知识相结合的考察。由于这组题选题比较简单，学生会积极参与，再结束之后老师给予肯定和一些指正，起到了活跃了课堂气氛，提高学生的自信心，激发学生学习的兴趣。