三 反证法与放缩法教案和课堂实录

反证法与放缩法

教学目的（要求）：使学生初步掌握反证法的概念及反证法和放缩法证题的基本方法；

培养学生用反证法和放缩法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：反证法和放缩法证题的步骤；理解反证法和放缩法的推理依据及方法。

教学过程：

[读教材·填要点]

1．反证法

先假设

，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)

的结论，以说明

不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．

反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

如：求证：若

|x| |y| 则

x 

y。证：因为，若x =y，则|x|=|y|，若x =-y，则|x|=|y|，所以，若

|x| |y| 则

x  y 再如：求证：若

ab0,

则nanbnN,n2。证：若nanb，则ab；若nanb，则ab。都与ab0矛盾。

以此说明反证法的步骤：及与逆否命题的等价性的互通。

2．放缩法

证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值

或

，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．

[小问题·大思维]

1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？

提示：用反证法证明不等式要把握三点：

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一

论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．

2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？

提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．

[研一题]

[例1]

设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.

[精讲详析]

本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．

假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有

11a(1－b)＞4，b(1－c)＞4，

11c(1－d)＞4，d(1－a)＞4. ∴－又∵－∴－1＞2，1＞2，－≤c＋≤a＋－2－－2，－1＞2，

1＞2. ，－－≤d＋2≤b＋2－，

－，

a＋1－b1b＋1－c12＞2，2＞2，

c＋1－d1d＋1－a12＞2，2＞2. 将上面各式相加得2＞2，矛盾．

∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1. [悟一法]

(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．

(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．

[通一类]

已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a)＋f(b)．求证：a＜b.

证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，

于是有f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．

当a＜b时，－a＞－b，于是有f(a)

∴f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)与已知矛盾．

∴a

[例2]

实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．

[精讲详析]

本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方法．解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾．

假设a、b、c、d都是非负数，

即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，

则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，

这与已知中ac＋bd＞1矛盾，

∴原假设错误，

∴a、b、c、d中至少有一个是负数．

[悟一法]

(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．

(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．

[通一类]

已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．

证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，

不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.

∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，

x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，

∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，

∴原假设不成立．

∴函数y＝f(x)在(a，b)上至多有一个零点．

[研一题]

31111[例3]

求证：2－＜1＋22＋…＋n2＜2－n(n∈N*且n≥2)．

n＋1[精讲详析]

本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．

∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，

∴1＋1＜k2＜1－，

11111即k－＜k2＜－k(k∈N*且k≥2)．

k＋1k－1分别令k＝2,3，…，n得

111111111－＜＜1－23222，3－4＜32＜2－3，

…

11111－＜＜－nn＋1n2n－1n，将这些不等式相加得

11111111111111－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，

2334nn＋12232n2223n－1n111111即2－＜22＋32＋…＋n2＜1－n，

n＋1111111∴1＋2－＜1＋22＋32＋…＋n2＜1＋1－n，

n＋1311111即2－＜1＋22＋32＋…＋n2＜2－n(n∈N*且n≥2)成立．

n＋1[悟一法] (1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a

(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，

目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等1a＋式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：23112＋4＞a＋22；将分子或分母放大(缩小)：k2＜12＞(k∈R，k＞1)等．

kk＋k＋1[通一类] 已知：an＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋

求证：证明：∵∴＋＋2＜an＜＋＞n，

＋，

n＋11＝2＋(2＋3＋…＋n)＋2＝＋2. >1＋2＋3＋…＋n＝＋2. ＋2. ＋(n∈N＋)，

1－112，k2＞，＜，

kk＋k－1＝n2＋n，

∴an＝1×2＋2×3＋…＋∵＋n＋＋<21＋22＋33＋4n＋＋∴an<2＋2＋2＋…＋2综上得：＋2＜an＜＋2. [课堂小结] 1．

反证法定义及其步骤

2．

放缩法定义及其步骤

[课后作业] P 29

1、2、3