二 用数学归纳法证明不等式优秀教案内容

4.2用数学归纳法证明不等式举例

一、教学目标

1．会用数学归纳法证明简单的不等式．

2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

会用数学归纳法证明简单的不等式．

四、教学难点

会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．

五、教学过程

（一）导入新课

复习数学归纳法的基本思想。

（二）讲授新课

教材整理

用数学归纳法证明不等式

1．贝努利(Bernoulli)不等式

如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>

. 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

（三）重难点精讲

题型一、数学归纳法证明不等式

111n)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋). 2例1已知Sn＝1＋2＋3＋…＋n(n>1，n∈N＋【精彩点拨】

先求Sn

再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．

111252【自主解答】

(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，

234122即n＝2时命题成立．

111k(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋. 2322当n＝k＋1时，

11111S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋12322＋12[来源学§科§网Z§X§X§K]

k＋1k2kk1>1＋＋k. k＝1＋＋＝1＋22＋2222故当n＝k＋1时，命题也成立．

n由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．

2规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，111111认为k的后一项为k＋1，实际上应为k；二是k＋k＋…＋k＋1共有多少222＋12＋12＋22项之和，实际上 2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k. [再练一题] 11111．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>，

f(3)>1，23n23nf(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．

2213【解】

数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为22nan＝，

2n∴猜想：f(2n－1)>. 2下面用数学归纳法证明：

1①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．

2②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，

k即f(2k－1)>，

2当n＝k＋1时，f(2k＋11111kkkkk1＋＋－1)＝f(2－1)＋2＋2＋1＋…＋2－2＋21－1>f(2－1)＋k

∴当n＝k＋1时不等式也成立．

据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．[来源学科网Z.X.X.K]

例2

证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．

验证n＝1，2，3时假设n＝k成立，n＝k＋1成立，⇒⇒不等式成立推证n＝k＋1结论得证

【精彩点拨】

[来源学+科+网Z+X+X+K]【自主解答】

(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；

当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；

当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．

当n＝k＋1时，2k1＋2＝2·2k＋2 ＋[来源学#科#网]

＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，

∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，

∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，

所以2k1＋2>(k＋1)2. ＋故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．

规律总结：

1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．

2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．

[再练一题] 1111＋1＋…1＋2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式2n－1＞352n＋1均成立．

2145【证明】

(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝. 332∵左边＞右边，∴不等式成立；

(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，

1112k＋11＋1＋…1＋即＞. 352k－12则当n＝k＋1时，

11＋11＋1…1＋11352k－12(k1)1

2k＋12k＋22k＋24k2＋8k＋4＞·＝＝

22k＋122k＋122k＋14k2＋8k＋32k＋32k＋1＞＝＝22k＋122k＋1∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立. 题型二、不等式中的探索、猜想、证明

2(k1)1. 2例3

1111a若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整n＋1n＋2n＋33n＋124数a的最大值，并证明你的结论．

【精彩点拨】

先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．

【自主解答】

当n＝1时，又a∈N＋，∴取a＝25. 11125下面用数学归纳法证明＋＋…＋>. n＋1n＋23n＋124(1)n＝1时，已证．

11125(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，

k＋1k＋23k＋124∴当n＝k＋1时，

111a26a＋＋>，则>，∴a<26. 24241＋11＋23×1＋124111111＋＋…＋＋＋＋

3k＋13k＋23k＋33(k1)1(k1)1(k1)211111＝k＋1＋k＋2＋…＋3k＋1＋3k＋2＋3k＋3＋

11－3k＋4k＋1

12251>＋，

243k23k43(k1)∵26k＋111＋＝2>，

3k＋23k＋49k＋18k＋83(k1)211＋－>0，

3k＋23k＋43(k1)∴

∴11125＋＋…＋>也成立．

3(k1)124(k1)1(k1)2由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，

11125都有＋＋…＋>，

n＋1n＋23n＋124∴a的最大值为25. 规律总结：

1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．

11112．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是＋＋－.3k＋23k＋33k＋4k＋1这一点必须清楚．

[再练一题] 1113．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…23n＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．

【解】

假设g(n)存在，那么当n＝2时，

由a1＝g(2)(a2－1)，

11＋－1，∴g(2)＝2；

即1＝g(2)2当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，

1111＋＝g(3)1＋＋－1，

即1＋223∴g(3)＝3，

当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，

1111＋＋1＋＋

即1＋2231111＋＋＋－1，

＝g(4)234∴g(4)＝4，

由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．

下面用数学归纳法证明：

当n≥2，n∈N＋时，

等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．

(1)当n＝2时，a1＝1，

1＋1－1＝1，

g(2)(a2－1)＝2×2结论成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，

即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，

那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak

＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k

＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 1＝(k＋1)ak＋k＋1－1＝(k＋1)(ak＋1－1)，

说明当n＝k＋1时，结论也成立，

由(1)(2)可知

，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．

（四）归纳小结

—证明不等式归纳法证明不等式——探索、猜想、证明问题—贝努利不等式（五）随堂检测

1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是(

) A．已知⇒结论

B．结论⇒已知

C．直接证明比较困难

D．与正整数有关

【答案】

D

11112．用数学归纳法证明不等式1＋3＋3＋…＋3＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证23nn不等式(

) 11111A．1＋3＜2－

B．1＋3＋3＜2－

2223311111C．1＋3＜2－

D.1＋3＋3＜2－

232341【解析】

n0＝2时，首项为1，末项为3.

【答案】

A 21111273．用数学归纳法证不等式1＋＋＋…＋n－1＞成立，起始值至少取(

) 24642A．7

B．8

C．9

D．10

11－2【解析】

左边等比数列求和Sn＝

11－21127＝21－＞，

264112711即1－＞，＜21282128，

11∴2＜2，

∴n＞7，∴n取8，选B. 【答案】

B n7nnnn六、板书设计学科网ZXXK]

4.2用数学归纳法证明不等式举例

教材整理

用数学归纳法证明不等式

例1：

例2：

例3：

学生板演练习

七、作业布置

同步练习：4.2用数学归纳法证明不等式举例

八、教学反思