2.基本不等式教学设计第二课时

基本不等式

一

、教学目标

abab

21．通过探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生重视基本不等式abab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解2决问题的能力，体会方法与策略．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，学会基本不等式的简单应用；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，理解并挖掘基本不等式的内涵及应用．

三、教学过程：

1．几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

那么，这个会标与我们今天所要学习的基本不等式有何关系呢？

首先，把这个会标抽象成一个数学图形，观察这个图形，

探究一：在这张“弦图”中能找出什么不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

那么正方形ABCD的边长为________．

于是，4个直角三角形的面积之和为S1______，

正方形ABCD的面积S2_________．

由图可知S2_____S1，即_____________．

当小正方形缩成了一个点时，大正方形的面积正好等于这四个直角三角形面积之和。实际上这个过程也就是这四个直角三角形变成了等腰直角三角形，也就是a等于b。所以也可以说，当a=b时，等号成立，即_____________。

2．代数证明，得出结论

根据上述几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

请同学们用代数方法给出这个不等式的证明：（作差法）

3. 深化认识：

特别的，若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立），这就是基本2不等式。其中，ab称为a,b的几何平均数；因此，基本不等式ab平均数。

四、讲练结合

【例1】若x0 ,求

f(x)x

ab称为a,b的算术平均数。

2ab又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术21

的最小值，以及取最值时x的值. 2x

【变式1】若x2 ,求

f(x)x

【变式2】若x2,求

f(x)2x

小结：

8

的最小值，以及取最小值时x的值. x28

的最小值，以及取最小值时x的值. x2ba2 ab1【例2】若x0 ,求

f(x)x

的最大值，以及取最大值时x的值. 2x延升：若a,b同号且不为0，则

【变式3】若x1 ,求

f(x)2x

小结：

延升：若a,b异号且不为0，则8

的最大值，以及取最大值时x的值. x1ba2 ab

五、归纳总结，反思提高

1．本节课学习的两个不等式的是什么?

2．在应用基本不等式时，需要注意什么？

六、当堂检测

1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

) 112baA．a2＋b2＞2ab

B．a＋b≥2ab

C.＋＞

D．＋≥2 ababab2．若x3，函数f(x)

3．当x

a4．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________。

x

七、兴趣拓展：基本不等式的几何解释

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．根据射影定理可得：CD_________

即CD________

由于RtCOD中直角边CD_______斜边OD，

而OD________，于是有_____________________ 当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．

故而再次证明：当a0,b0时，ab24x的最小值为___________；

x338时，函数y＝x＋

的最大值为_____________；

2x－32D A B O

C

E ab（当且仅当ab时，等号成立）

2