2.基本不等式教学实录

基本不等式:一、知识与技能：

abab

2授课人:王成宇

授课类型：新授课

使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。

过程与方法：

通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

情感态度与价值观：

在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、重点及难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab证明过程。

难点：基本不等式abab等号成立条件。

2ab的2三、教学过程

1.课题导入

abab2的几何背景：

基本不等式如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。22设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为ab。这样，4个22直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的22面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时22有ab2ab。

22ab时取""号)

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当3．思考证明：你能给出它的证明吗？

222ab2ab(ab)证明：因为

22ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,

当222(ab)0(ab)2ab.

所以，，即4．1）如果a>0,b>0,我们用分别用a,b代替a、b ，可得ab2ab，

abab(a>0,b>0)2

通常我们把上式写作： 2）理解基本不等式探究：

abab2的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本abab2的几何解释吗？

不等式

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. ababab22这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且

仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. abab2几何意义是“半径不小于半弦”

因此：基本不等式ab.在数学中，我们称2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 四、范例讲解

例1 ，例2见课件。

五、课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数abab（2），几何平均数（ab）及它们的关系（2≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).a2b2ab我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤2，ab≤（2）2. 六、

作业

课本第10页习题1.1的第5题和第6题