1.3 二项式定理（通用）教学内容

二项式定理（第一课时）教学设计

南安三中

陈慧仙

一、教材分析：

本节课选自高中数学选修2-3第一章第三节的内容. 二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的二项分布作铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

二、学情分析

授课的对象是高二的学生。他们具有一般的归纳推理能力，思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。

三、教学目标

A、知识与技能：

（1）在参与二项式定理的形成过程中，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律。

（2）能够应用二项式定理正确地展开所给出的二项式。

B、过程与方法：

（1）在参与二项式定理形成的过程中，体会观察、猜想、归纳等方法。

（2）在参与二项式定理形成的过程中，感受化归意识和知识迁移。

C、情感态度与价值观：

（1）在自主参与二项式定理的形成过程中，体验发现的喜悦，增强解决数学问题的信心；

（2）在自主参与二项式定理的形成过程中，体会“由特殊到一般”的数学思想；

（3）在自主参与二项式定理的形成过程中，体会数学的对称美；

四、教学重点难点：

教学重点：

（1）二项式定理的形成过程，二项式定理的二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；

（2）能够应用二项式定理正确地展开所给出的二项式。

教学难点：二项式定理的形成过程。

五、教法学法分析

教法分析：

“学习任何东西最好的途径是自己去发现”，正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”，本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探索为主。创设一个以学生为主体，师生互动、共同探索的教与学的情境。通过情景设置激发学习热情并引入本节课题，引申设疑，类比猜想，归纳推广等环节进行对此定理的探索。不仅重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决的过程，贯切新课程理念。另外，根据“近发展区的理论”精心设置问题，调控问题的解决过程培育这节课最佳的知识生长点。

学法分析：

学法要突出自主学习、研讨发现.

知识是通过学生自己积极思考、主动探索获得的，学生在教师引导下，通过观察、思考、自主探究等活动来对知识、方法和规律进行总结，在课堂活动中，学生经历运用从局部到整体、从特殊到一般的方法获取知识的过程，体验发现的喜悦，增强学习的主动性.

六、教学过程

1、情景设置

借用Excel回答问题1-3的答案。

问题1：若今天是星期五，再过30天后的那一天是星期几？

问题2：若今天是星期五，再过810天后的那一天是星期几？

问题3：若今天是星期五，再过99天后是星期几？

设计意图：此处采用Excel直接给出答案，调动学生的学习兴趣与热情，为本节课的学习作情绪和思维上的准备。此处如果采用教师直接给出答案，就没有神秘感，调动效果会比较一般。

问题4：若今天是星期五，再过8n天后是星期几？

如果没有Excel的帮忙，怎么算。

预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？

设计意图：使学生明确学习目的，再次用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。

2、知识的形成

问题1：如何利用两个计数原理得到(a+b)2 的展开式。

在初中，我们用多项式乘法法则得到展开式

(a+b)2=(a+b)(a+b)=aXa+aXb+bXa+bXb=a2+2ab+b2

从这个过程可以看出，(a+b)2是两个(a+b)相乘，即在相乘时，每个(a+b)每次选a或b，而且每个(a+b)中a或b都选定后，才能得到展开式的项，于是(a+b)2展开有a2，2ab，b2这三项，每个项的产生，用计数原理解释如下（以表格说明）

展开式中的项

a2

ab b2

该项出现的方式

从两个(a+b)中恰选0个b，

从两个(a+b)中恰选1个b 从两个(a+b)中恰选2个b 该项出现的次数

该项的系数

1 2 1

2

2

所以：

(a+b)2=

a+

ab+

b设计意图：以我们现在的学生的知识水平，想要让他们直接用计数原理解释多项式乘法不容易，所以问题1的设置是为了分解二项式定理的理解难度；为了便于研究，也为了更具引导性和启发性，问题1的解答设计为表格的形式，直观明了，再次降低了二项式定理的理解难度。有了问题1的理解，学生自主解决问题2就容易多了。

问题2：试着借用下面的表格，用两个计数原理写出(a+b)3的展开式。

（类比问题1的过程，让学生试着去理解回答）

(a+b)3＝(a+b) (a+b) (a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)3展开式中的项

该项出现的方式

a3

a2b ab2

b3

从三个(a+b)中恰选0个b

该项出现的次数

该项的系数

1

从三个(a+b)中恰选2个b

3

3

2

(a+b)3=

a+

ab+

ab2+

b

设计意图：通过类比问题1，学生自主思考解决问题2，从更深层次上理解展开式的意义，为二项式定理的学习与证明作了铺垫。

问题3：根据问题1,2的结果，猜想出

(a+b)4

的展开式，并用多项式的乘法检验猜想。

设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。

问题4：根据问题1,2,3的结果，猜想(a+b)n

的展开式，并用两个计数原理进行证明。

设计意图：归纳猜想，形成知识

设计意图：上述过程中，问题1、2是关键也是难点，因此要舍得在问题1、2上多花些时间，让学生多开展思维活动，真正能理解如何利用两个计数原理解决二项展开式的问题。学生通过体验

(a+b)2，(a+b)3的展开过程，再利用类比推理得出(a+b)4

的展开式，进而利用归纳推理得出(a+b)n

的展开式，是一个从特殊到一般的循序渐进的过程，符合学生的认知规律，更有利于学生理解记忆二项式定理的内容。这样既突破了教学重点，也自然地化解了教学难点。体现了教法与学法的统一。

3、知识的整理

板书二项式定理课题和内容：

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)

(1)项数：

(2)系数：各项的系数依次为

，其中

称为

(3)指数特征：

(4)通项公式：

是展开式的第

项。

设计意图：在学生初步通过猜想得出二项式定理的“雏形”后，师生共同对学生得出的知识探究修正完善，得出二项式定理的内容，并引导学生对二项展开式的特点进行分析，从而加深对二项式定理的理解，形成知识体系，从而使学习成为有意义的学习。

4、知识的应用

【引例】

①在二项式定理中，令a1,bx，得到怎样的公式？

122rrnn(1x)n1CnxCnxCnxCnx

②展开(114)

x（教师给出两个小题目，学生独立完成，教师提醒学生注意规范和步骤，

并适时点拨第一小题可以作为重要结论应用）

设计意图：对二项式展开式进行一些变换，有利于学生加深对定理的理解，因此给出了二项的特例

例1：展开(2x1x)6

（先让学生尝试完成，然后教师规范板书）

设计意图：为了让学生熟悉二项展开式，培养学生的运算能力，给出例题，教师规范板书的目的是给学生以典型示范的作用，同时让学生深化所学知识，形成基本技能。

例2：解决本节开头提出的问题：若今天是星期五，再过8n天后是星期几？

设计意图：首尾呼应，应用本节所学知识解决问题，提高解决问题的能力，增强学习数学的信心。

5、知识的巩固

(1)

的展开式中，必不存在的项为（

）

A.

B.

C.

D.

(2)

的展开式中,第6项的系数是（

）

A.

B.

C.

D.

(3)

的展开式中，

项的系数为

(4) 用二项式定理展开

设计意图：让学生独立完成课堂练习，及时排除学习中的个别障碍。

6、课堂小结

(1)知识内容：二项式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)

通项及二项式系数

(2)思想方法：从特殊到一般的数学思维方式；等比及转化的数学思想

7、作业布置

必做题：课本第37页A组第2题。

选做题：①求(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求(x19)的展开式中含x3项的系数。

x设计意图：课后及时巩固所学知识，选做题的设计是让学有余力的学生能够吃得饱，真正实现课标里所提倡的“让不同的人在数学上得到不同的发展”。

8、板书设计

多媒体展示区

知识的形成

知识的整理

课堂练习

作业布置

例1 例2