1.不等式的基本性质教案和学案内容

不等式的基本性质教学设计（第1课时）

一、学习目标

1．利用数轴理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．

2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．

3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．

二、重点难点：

教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．

教学难点：准确比较两个代数式的大小．

三、课时安排

1课时

四、教学过程

1.导入新课

通过师生共同列举出一系列有关学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，自然地引入新课．

2.推进新课

提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？

2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？

3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？

4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？

活动：

实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃. 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．

实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．

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实例4：两点之间线段最短．

实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h. 实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 对以上问题，教师让学生轮流回答，老师再给出结论．

2.2应用实例

例1(教材本节例1和例2) 活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．

点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握. 变式训练

1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是(

) A．f(x)＞g(x)

B．f(x)＝g(x) C．f(x)＜g(x)

D．随x值变化而变化

答案：A 解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．

2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．

解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2. ∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1. 例2比较下列各组数的大小(a≠b)．

a＋b2(1)与(a＞0，b＞0)；

211＋ab(2)a4－b4与4a3(a－b)．

活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．

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a＋ba＋b2aba＋b2－4aba－b22解：(1)－＝－＝＝. 2112a＋b2a＋b2a＋b＋aba－b2a＋b2∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)＞0.∴＞0，即＞. 2112a＋b＋ab2(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) ＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b) ＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2．

∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，

又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2＜0. ∴a4－b4＜4a3(a－b)．

点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. 变式训练

x

已知x＞y，且y≠0，比较与1的大小．

y活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．

x－yx解：－1＝. yy∵x＞y，∴x－y＞0. x－yxx当y＜0时，＜0，即－1＜0.∴＜1；

yyyx－yxx当y＞0时，＞0，即－1＞0.∴＞1. yyyx点评：当字母y取不同范围的值时，差－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论. y例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．

活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

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a＜b，且≥10%，

ba＋mamb－aa＋maa由于－＝＞0，于是＞.又≥10%，

b＋mbbb＋mb＋mbba＋ma因此＞≥10%. b＋mb所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．

点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，m＞0，则变式训练

已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则(

) A．a1＋a8＞a4＋a5

B．a1＋a8＜a4＋a5

C．a1＋a8＝a4＋a5

D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定

答案：A 解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4

＝a1＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．

∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0. 又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5. 2.3课堂训练

1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为(

)

A．3

B．2

C．1

D．0 2．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．

答案：

1．C

解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0. ∴只有①恒成立．

2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，

所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6. 2.4课堂小结

1）从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到a＋ma＞. b＋mb

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紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．

2）利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．

2.5作业布置

习题3—1A组3；习题3—1B组2.

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