复习参考题优秀公开课教案

教学课题：两个变量的线性相关

一、

教学内容解析：

本节课的主要内容为两个变量的线性相关。

本节课作为问题解决课，将以人教A版必修三第二章第三节有关知识内容为基础，通过“用线性回归的统计分析方法，刻画两个变量之间的相关关系”的统计案例，让学生经历一个相对完整的统计过程，感受统计与实际生活的联系以及在解决实际问题中的作用。

对于具有线性相关关系的两个变量，应鼓励学生用多种方法探索确定线性回归直线方程，在此基础上，再引导学生体会最小二乘法思想，根据给出的公式求出线性回归直线方程。在学生“经历收集数据——画散点图——用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好地理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。

就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。了解“最小二乘法思想”，比较各种估算方法，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。当然，由于统计本身的性质，决定了统计思维与确定性思维的差异，也决定了统计结果的随机性，因此，必须结合统计案例，让学生体会到统计推断的作用和可能所犯的错误。

考虑到本节课教学侧重点和新课标的要求，并充分注意到已有的相关教与学的的实践经验与教训，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机的Excel软件功能,简化繁琐的系数求解过程,简化过于形式化的证明说理过程。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为知道“最小二乘法思想”，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程，且能应用该方程进行相关预测。

二、

教学目标设置：

1. 经历一个相对完整的统计推断过程，了解“最小二乘法”，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程的方法，能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的表达方式；

2. 通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题。在此过程中理解线性回归方程概念和回归思想，通过简明说理，接受最小二乘法的科学性；

3. 经历数据处理步骤，结合具体案例，体会随机思想，体会“确定关系研究相关关系”的回归思想，领悟用数学思想处理问题的简洁美。

三、

学生学情分析：

面对大部分来自云南各地州的少数民族学生，经过调查，多数学生虽然具备

1

初步的统计基础知识，但是良好的统计观念普遍尚未形成，统计经验比较缺乏，另外，学生的计算能力也比较欠缺。

基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法思想”的前提；而如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高。在问题解决的教学过程上，要了解“最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程可作为“两个具有线性相关关系变量的代表”这一回归直线的概念本质，并体现相对于其它估算方法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说明。

知识发展的要求和学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到期的最大矛盾。教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程;二是过多纠缠于数学刻画过程,甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说理.这两种倾向都脱离了学生的实际,前者忽略了“最小二乘法思想”,迷失了本节课的教学目标;后者人为拔高教材的要求,背离了本节课的教学要求. 所以,本节课的教学难点是:如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中让学生了解最小二乘法思想、回归方程中的斜率b和截距a的计算公式，用Excel软件求出线性回归方程。通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想。

四、教学策略分析

针对学生的认知障碍和学习过程中可能遇到的困难，遵循新课程标准的基本理念特别是其中的第4点——注重提高学生的思维能力；第5点——发展学生的数学应用意识；第9点——注重信息技术与数学课程的整合的具体要求，本节课教师应提供较丰富的实例，大胆让学生动手，借助计算机Excel软件的专业功能,激趣、质疑、启发、讨论、说理、验证，使学生有充分的观察、思考、运算、操作、发现与交流的时间与空间，通过经历图像分析与数据处理的过程，把握两个变量间的线性相关。

五、教学过程设计：

（一）创设情境，提出问题

今天，我们将学习两个变量间的线性相关。在进入课题之前，我先跟同学们讲两个民中小故事：

第一个是：“村官连任”；第二个是：“宿管算命”。

你知道这两个故事中所蕴藏的“数学秘密”吗？

（二）尝试探究，揭示关系

我们先一起来探寻“村官连任”的“数学秘密”。

胡江辉给镇长的一张数据统计表：

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

年份代号t

人均纯收入y

2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

为了更直观地反映这二者之间的关系，我们可以怎么做？（画散点图）

它们之间是确定的函数关系吗?(不是,是相关关系.) 如何预测后续该地区农村居民家庭纯收的变化情况？

引导学生：类比平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，散点图中的点分布在一条直线附近，我们可以把这条直线作为两个变量具有线性相关关系的代表。统计学上把这条直线叫做回归直线。如果我们能求出这条回去归直线的方程，那么我们就可以用确定关系来研究相关关系，从而作出预测。现在的问题是如何求出这条直线对应的回归方程呢？

由于生活中具有线性相关关系的两个变量的例子非常多，我们不妨将它们样本点对应的散点图数据一般化。为了使这条回归直线能具有更好的代表意义，我们希望样本点到这条直线怎么样？你会怎样进行数学刻画呢？

这个问题的数学实质是什么？用数学方法刻画“从整体上看，各样本点到此直线的距离最小。”

由于统计的随机性，统计学家们应用数学方法，找到了最小二乘法，给出了具有线性相ˆxaˆbˆ，

关关系的两个变量之间的回归直线方程的计算公式：yˆb(xi1nnix)(yiy)ixyii1nninxynx2ˆx.

ˆyb.a(xi1x)2xi12i请猜想：这条直线一定经过哪个点？点(x,y)

点(x,y)称为样本的中心点，由于这条直线是作为两个变量具有线性相关关系的代表，可以推测这条回归直线一定过样本的中心点。

上述求回归直线的方法，是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方和最小的方法叫做最小二乘法。

这个公式不要求记忆，但要理解其中各个字母的意义，并会进行运算。

（四）典例精析，提炼方法

例1：某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

年份代号t

人均纯收入y

2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）预测该地区2015年农村居民家庭纯收入的情况。

可让学生观察公式，充分讨论，通过计算n,t,y,

3 (ti1nit)(yiy),(tit)2这五个i1n

数据代入回归方程公式得到线性回归方程：y0.5t2.3.体会求线性回归方程的算法。预ˆ6.8,表示该地区2015年农村居民家庭纯收入大概测时，注意2015年对应的t9,所以y在6800元左右。

说明：胡江辉获得“村官连任”的秘诀是什么？

例2：学生数学成绩与物理成绩的线性回归方程（教师利用Excel软件,示范操作.）

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

0

50

y = 0.3926x + 14.028

100

150

请学生说明“宿管算命”的秘密。

例3：求人体年龄与脂肪含量线性回归方程：

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0

10

20

y = 0.5765x - 0.4478

30

40

50

60

70

同样问题背景,回归直线是否只有一条?回归方程求出后,变量间的相关关系是否就转变为确定关系?

回归直线方程求出后,变量间的关系没有转变为确定关系,只是用确定的函数关系来研究

4

不确定的相关关系.回归直线方程由数据唯一确定,提供的数据不同,回归直线方程当然不同, (五)随堂演练,形成技能

练习:卖出热茶的杯数与当天气温的关系

气温/℃

杯数

26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 （1）

求回归直线方程；

（2）按照回归方程,计算温度为10℃时销售杯数,为什么与表中不同?如果某天的气温是-5℃,预测这天小卖部卖出热茶的杯数?

让学生完整经历求回归直线方程的过程,并体会到即使获得的回归直线在相比之下是“最优”的，也存在一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性是无法避免的。而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值。

通过以上案例分析，说明事件、样本数据与回归直线三者的关系：

1．

数据采样本身具有随机性，随机误差不可避免；

2．

回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系；

3．在数据采样都符合统计要求的情况下，回归直线方程的选择具有多样性，但一般情况下，选择数据多一些更合理。

(六)及时小结,反馈反思

本节课我们主要通过问题解决的方式，经历了一个相对完整的统计推断的案例学习过程。主要应掌握求样本数据的线性回归直线方程的方法及其应用价值。

反思这节课，至少可以产生两个新的问题：第一，对于两个变量间的相关关系,为什么不用二次函数、指数函数、或者对数函数模型作为代表呢？是否所有两个变量间的线性相关都可以用线性回归方程来做统计推断呢？

第二、如果是三个变量或者更多的变量间的关系呢？

（七）作业布置：

1.搜集一个求回归方程的手工计算题；2.教材P92第2题(机算)；

5