1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优秀教学设计内容

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

罗定市泷州中学 陈燕芳

【教学目标】

1、知识与技能：

通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题. 2.过程与方法：通过设置问题，引导学生自主发现、合作探究、归纳展示、质疑对抗，使学生成为课堂主体。

3.情感、态度与价值观：通过本节课学习，让学生体会统计方法在决策中的作用；合作探究的学习过程，使学生感受发现、探索的乐趣及成功展示的成就感，培养学生学习数学知识的积极态度。

【教学重点】

了解独立性检验的基本思想及实施步骤。

【教学难点】

独立性检验的基本思想；随机变量K的含义。

【学情分析】

本节课是在学习了统计、回归分析的基本思想及初步应用后，利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础。

【教学方式】

多媒体辅助，合作探究式教学。

【教学过程】

一、情境引入，提出问题

最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍。青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力。研究人员对1323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月里玩电脑游戏的习惯。同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题。统计获得下列数据：

表一：

注意力不集中 注意力集中 总计

不玩电脑游戏

268 357 625

2

玩电脑游戏

489 209 698 总计 757 566 1323 [设计意图说明] 好的课堂情景引入，能激发学生的求知欲，是新问题能够顺利解决的前提之一。

问题 你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？

[设计意图说明] 提出问题，引导学生自主探究，指明方向，步步深入。

二、阅读教材，探究新知

1.分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种：

[设计意图说明] 利用图像向学生展示变量的不同取值，更加形象的表示分类变量的概念。

这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

生活中有很多这样的分类变量如：

是否吸烟

…

宗教信仰

国籍

民族

…

2

2.列联表

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果： 表3—7 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表（一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22列联表）。

问题1、吸烟与患肺癌有关系吗？

由以上列联表，我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；

②在吸烟者中患肺癌的比例为 。

因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。

还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？

3.等高条形图

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

[设计意图说明]

从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。

三、小组讨论，合作交流

问题2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？

我们先假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系。

3

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于：P(AB)P(A)P(B)

上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表： 表3—8 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

则有

P(AB)不患肺癌

患肺癌

总计

a

c

b

d

bd

ab

cd

abcd

ac

aabca,P(B)，P(A)，其中nabcd为样本容量

nnnaabca

nnn所以在H0成立的条件下应该有： 即 (abcd)a(ab)(ca)

即 adbc

探究：adbc的大小能说明了什么？

adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2 K (1) (ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd为样本容量。

探究：K的大小能说明什么？

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。根据表3—7中的数据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

2229965(777549422099)2k56.632 781721489874919965(777549422099)256.632这个值到底能告诉我们什么探究：k78172148987491呢？

4

统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01 (2) (2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。

2现在K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为2“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果k6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K6.635)0.01, 即有99%的把握认为H0不成立。

[设计意图说明] 独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。

四、形成概念，重点精讲

上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0：两个分类变量没有关系

成立。在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小。如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝H0。

怎样判断K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为22222

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K2的观测值k大。此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2k0)。

在实际应用中，我们把kk0解释为有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为没有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。

上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验。

根据上述，“独立性检验”的具体做法步骤为：

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

第二步：利用公式计算随机变量K的观测值k；

第三步：比较k与k0的大小得出结论。

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值k0：

表3-11 临界值表

22P(K2k0)

0.50 k0

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 五、运用新知，归纳展示

为考察高中生的性别与是否喜欢理科之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取500名学生，得到如下列联表： 单位：人

男

女

总计

喜欢理科

104 95 199 不喜欢理科

128 173 301 总计

232 268 500 能够有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢理科之间有关系吗？

解：根据列联表中的数据，得到

500(10417312895)24.5663

k232268199301

6

4.56633.841

所以，能够有95％的把握认为“性别与喜欢理科之间有关系”。

[设计意图说明] 学以致用，学生对独立性检验进行实际应用。通过学生展示，一方面巩固了知识，体现了数学在实际中的应用，另一方面暴露了学生的书写不规范问题，加强规范要求。 六、课堂检测，节节达标

1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是(

) A．有95%的把握认为“X和Y有关系”

B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”

C．有99%的把握认为“X和Y有关系”

D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”

2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（ ）

A.若K6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有

99个患肺病。

B.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么

他有99%的可能性患肺病。

C.若从统计数据中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推

断出现错误。

D.以上三种说法都不对。

3.为了研究高中生的数学成绩和物理成绩的关系,在某校随机抽取部分学生调查,得到如下列联表： 单位：人

数学好

数学差

合计

物理好

104 56 160 物理差

96 94 190 合计

200 150 350 2根据抽查数据，你能够有99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩之间有关系吗？请阐明得出结论的依据。

[设计意图说明] 通过目标检测结果性评价来激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，及时反馈学生信息，了解学生的学习效果。

七、聚焦高考

(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随

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机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

(1)设记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

方法

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50 kg

箱产量≥50 kg

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．

附：

8 ,

n（ad－bc）2K＝

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1) 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为

2(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，

因此，事件A的概率估计值为0.62 (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

方法

旧养殖法

新养殖法

2箱产量＜50 kg

62

34

箱产量≥50 kg 38 66 200×（62×66－34×38）2K＝≈15.705. 100×100×96×104由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．

[变式训练]

(2018·合肥二检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．

(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？

(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

性别

男生

女生

总计

2选择自然科学类

选择社会科学类

总计

n（ad－bc）2附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)

k0

0.500

0.455

1057解：(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为＝.

18012(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：

性别

选择自然科学类

选择社会科学类

总计

0.400

0.708

0.250

1.323

0.150

2.072

0.100

2.706

0.050

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828

9

男生

女生

总计

60

30

90

180×（60×45－30×45）236则K＝＝≈5.142 9＞5.024. 7105×75×90×90245

45

90

105 75 180 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关．

八、归纳小结，提炼精髓

1．了解2×2列联表的意义并能识别等高条形图；

2．了解独立性检验的基本思想；

3．了解独立性检验的操作步骤。

[设计意图说明] 通过回忆、归纳、总结，强调重点知识，体现课标精神，达到教学目的。

九、课后作业，自主学习

课后习题，金版学案练习

[设计意图说明]

巩固本节课基础知识，加深知识的应用。

【教学评价与反思】

教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习，学生思考、探究、讨论，得出解决问题的思路并完成落实，总结出解题的一般步骤，教师只起到提出问题，适时点评、提升的作用。

通过课堂检测，及时反馈学生学习效果，达到了教学目标。课堂上处处以学生为主体，体现高效课堂本质，相比传统课堂效果更好，培养了学生能力，体现课标精神。

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