平方差公式教案和学案内容

8.5

乘法公式1

第课时

1.通过探索平方差公式的过程,进一步培养学生的符号感和推理能力.

2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算.

3.了解平方差公式的几何背景.

1.通过对几个具有特殊形式的多项式相乘,找出一般规律,探索平方差公式,并用公式进行简单的计算.

2.通过几何图形面积,了解平方差公式的几何背景.

通过对平方差公式结构的认识,体会数学中的结构美、简约美.

【重点】

1.平方差公式及其应用.

2.综合运用平方差公式解决简单的实际问题.

【难点】

1.体会如何应用平方差公式.

2.正确理解平方差公式中的a,b.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P86~88.

导入一:

在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题:

21×19=

103×97=

主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说:“第一题等于399,第二题等于9991.”其速度之快,简直就是脱口而出.同学们,你知道他是如何计算的吗?你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢?

[设计意图]

通过抢答的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课.

导入二:

数学故事.

从前,有一个狡猾的地主,把一块边长为a(a>2)米的正方形土地租给张大爷种植.第二年,他对张大爷说:“我把这块地变为一边减少2米,相邻另一边增加2米的长方形,继续租给你,租金不变,你也没吃亏,你看如何?”你知道张大爷是否吃亏了吗?谈谈你的想法,与同伴交流.

预设

生:张大爷吃亏了.因为张大爷原来土地的面积为a,后来土地的面积为(a+2)(a-2)=a-4,面积减小了,而租金没变,所以吃亏了.

2师:除了运用多项式乘多项式的法则来计算(a+2)(a-2)=a-4之外,那么这种类型的多项式乘多项式的运算还有没有简单算法呢?今天这节课就让我们共同来学习这类多项式乘多项式的运算.

[设计意图]

一方面通过对多项式乘多项式法则的复习,为学生本节课的探究学习做好知识铺垫.另一方面通过故事情境引入,既巩固了多项式乘多项式法则,又设置了悬念激发学生的求知欲望及学习兴趣,为本节课对平方差公式的探究做好情感铺垫.

22

[过渡语]

在进行多项式与多项式相乘时,往往会遇到一些特殊形式的多项式相乘,其结果也很特殊.我们把它们作为乘法公式直接使用.

活动1

利用多项式相乘探究平方差公式

思路一

1.计算.

(1)(x+1)(x-1)=

.

(2)(a+2)(a-2)=

.

(3)(2x+1)(2x-1)=

.

(4)(a+b)(a-b)=

.

22222结果提示:(1)x-1;(2)a-4;(3)4x-1;(4)a-b.

2.上面四个式子中,两个乘式之间有什么特点?

提示:两数和与这两数差的积.

3.乘积合并同类项后是几项式?这个多项式有什么特点?

提示:二项式,两数平方的差.

22总结:(a+b)(a-b)=a-b.

两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

这个公式叫做平方差公式.

思路二

探究:计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

(1)(x+1)(x-1);

(2)(m+2)(m-2);

(3)(2x+1)(2x-1).

解:(1)(x+1)(x-1)

2=x-x+x-1 2=x-1.

(2)(m+2)(m-2)

2=m-2m+2m-4 2=m-4.

(3)(2x+1)(2x-1).

2=4x-2x+2x-1 2=4x-1.

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括.

归纳:上面几个算式都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.

[设计意图]

平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,在教学中,首先应让学生思考:你能发现什么吗?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程,学生在发现规律后,还应通过运算对规律进行证明.

计算(a+b)(a-b).

让学生计算,归纳算式的特征,说明结果的形式.

2222解:(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b.

然后,教师系统总结平方差公式.

22平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b.

语言叙述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫做(乘法的)平方差公式.

[知识拓展]

公式的结构特征:

(1)公式左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.

(2)公式右边是二项式中的两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.

(3)平方差公式的推导体现了从特殊到一般的数学思想方法.

活动2

平方差公式的几何意义

如图(1)所示,在一个边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形,再将余下的部分剪拼成一个长方形(如图(2)所示).

(1)两个图形(阴影部分)的面积之间有什么关系?(相等.)

22(2)请你结合图形,对平方差公式(a+b)(a-b)=a-b进行解释.

22提示:图(1)中阴影部分的面积是a-b,拼成的图(2)中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),两部分面积相等,即22(a+b)(a-b)=a-b.

[知识拓展]

利用几何方法验证平方差公式是有局限性的,因为图形中的a,b只能是正数,且有a>b,而公式中的a,b并无此限制.

活动3

做一做

按要求填写下面的表格.

与平方

与平方

写成

差公式

差公式

22计算

算式

“a-b”

中a对

中b对

结果

的形式

应的项

应的项

(m+2)(m-2)

(2m+3)(2m-3)

(x+2y)(-x+2y)

(1+3y)(1-3y)

参考答案:

m

2m

2y

1 2 3 x

3y

m2-22

22(2m)-3

22(2y)-x

221-(3y)

m2-4 24m-9 224y-x

21-9y

活动4

例题讲解

(教材第87页例1)计算.

(1)(2x+y)(2x-y);

(2);

(3)(-5a+3b)(-5a-3b).

2222解:(1)(2x+y)(2x-y)=(2x)-y=4x-y.

(2)2=22-(5y)=22x2-25y2.

(3)(-5a+3b)(-5a-3b)=(-5a)-(3b)=25a-9b.

平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b.

应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:

(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式有一项完全相同,另一项互为相反数.

(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方.

(3)公式中的a,b可以看做是具体的数,也可以是单项式或多项式.

(4)对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,相比用多项式乘多项式法则更简便.

22

1.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是

(

)

A.(a+b)(b+a)

B.(-a+b)(a-b)

C.22

D.(a-b)(b-a)

解析:平方差公式中的两个数必须符合一个相等,另一个互为相反数.故选C.

222.若x+y=3,x-y=12,则x-y的值为

(

)

A.-3 B.3 C.4 D.2 22解析:因为(x+y)(x-y)=x-y=12,又因为x+y=3,所以x-y=4.故选C.

23.计算2016-2015×2017的结果是

.

2222解析:2016-2015×2017=2016-(2016-1)×(2016+1)=2016-2016+1=1.故填1.

24.(泉州中考)先化简,再求值:(x-2)(x+2)+x(x-1),其中x=-1.

2323解:原式=x-4+x-x=-4+x,

3当x=-1时,原式=-4+(-1)=-4-1=-5.

活动1

活动2

活动3

活动4

例题

第1课时

利用多项式相乘探究平方差公式

平方差公式的几何意义

做一做

例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第88页习题A组的第1,2题.

【选做题】

教材第89页习题B组的第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.计算(a+1)(a-1)的结果是

(

)

22A.a+1 B.a-1 2C.a D.2a

2.下列运用平方差公式计算,错误的是

(

)

22A.(a+b)(a-b)=a-b

2B.(x+1)(x-1)=x-1 2C.(2x+1)(2x-1)=2x-1 22D.(-a+b)(-a-b)=a-b

223.化简(a+1)-(a-1)的结果是

(

)

2A.2 B.4 C.4a

D.2a+2 24.填空:(1+x)(

)=x-1.

5.化简.

(1)(2a+3b)(2a-3b);

(2)(-3x-2y)(3x-2y);

(3)(温州中考)(2a+1)(2a-1)-4a(a-1);

(4)(嘉兴、舟山中考)a(2-a)+(a+1)(a-1).

【能力提升】

22226.若(x+y-3)+(x-y+5)=0,则x-y的值为

(

)

A.8 B.-8 C.15 D.-15 7.对于任意的整数n,能整除(n+3)(n-3)-(n+2)·(n-2)的整数是

A.4 B.3 C.5 D.2 8.计算:(-1-2a)(2a-1)=

.

9.计算与化简.

(1)103×97;

(2)(a+b+c)(a+b-c).

10.先化简,再求值.

(1)(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8;

(

)

(2)(1-2a)(1+2a)(1+4a)(1+16a),其中a=-.

24【拓展探究】

24811.化简(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)的结果是

.

12.计算:1-1-·…·1-.

【答案与解析】

1.B(解析:本题是平方差公式的应用,a是相同的项,互为相反项是1与-1,直接套用公式即222可.(a+1)(a-1)=a-1=a-1.)

222.C(解析:运用平方差公式(a+b)(a-b)=a-b计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相2反项的平方.根据平方差公式得(2x+1)·(2x-1)=4x-1,所以C答案错误.而A,B,D符合平方差公式的条件,计算正确.)

3.C(解析:将a+1和a-1看成一个整体,逆用平方差公式解22答.(a+1)-(a-1)=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a.)

24.x-1(解析:根据平方差公式的逆用,x-1化为积的形式时,含x的项的符号相同,含1的项的符号相反.故填x-1.)

222222225.解:(1)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)-(3b)=4a-9b.

(2)(-3x-2y)(3x-2y)=(-2y+3x)·(-2y-3x)=(-2y)-(3x)=4y-9x.

2222(3)原式=4a-1-4a+4a=4a-1.

(4)原式=2a-a+a-1=2a-1.

226.D(解析:因为(x+y-3)+(x-y+5)=0,所以x+y-3=0,x-y+5=0,所以x+y=3,x-y=-5,所以x2-y2=(x+y)(x-y)=3×(-5)=-15.)

227.C(解析:(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)=n-9-n+4=-5.)

8.1-4a(解析:本题是平方差公式的应用,-1是相同的项,互为相反项是2a与-2a,直接利用平方差公式计算即222可.(-1-2a)(2a-1)=(-1)-(2a)=1-4a.)

229.解:(1)103×97=(100+3)×(100-3)=100-3=9991.

(2)原式222222222=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)-c=(a+b)(a+b)-c=a+ab+ab+b-c=a+2ab+b-c.

210.解:(1)原式=(x-4y)+(4x-y)=5x-5y.当x=8,y=-8时,原式=5×8-5×(-8)=0.

(2)原式22222222=(1-4a)(1+4a)(1+16a)=(1-16a)(1+16a)=1-256a.当a=-时,原式=1-256×22444816=1-1=0.

11.2-1(解析:原式24822484488816=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2-1)(2+1)(2+1)=(2-1)(2+1)=2-1.)

12.解:原式=1-×1+×1-×1+×…××××=××××…××××=×=.

本节课从多项式相乘入手,首先通过直观观察总结出平方差公式,随后通过特殊几何图形的面积,帮助学生深化对平方差公式的理解.

在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、猜测、推理、交流、反思等活动,培养学生类比的思想方法,让学生学会一些探究的基本方法与思路,让学生自己当老师,一方面让其他学生容易接受,另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣,让学生在探究中经历知识产生发展的过程,体会“做数学”的乐趣.

引导学生探索发现平方差公式两端字母的特点,在教学中处理的比较简单,直接影响到学生对公式的理解和运用.

在对平方差公式进行几何解释的过程中,教师没有做成动态演示的课件,这个地方需改进.

导出平方差公式,让学生在题目中先找出a和b,左边为两数的和乘以两数的差,在这两个二项式中有一项(a)完全相同,另一项(b与-b)互为相反数.右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方.公式中的a,b不仅可以表示具体的数字,还可以是单项式、多项式等代数式.提醒学生利用平方差公式计算,首先观察是否符合公式的特点,这两个数分别是什么,其次要区别相同的项和相反的项,表示两数平方差时要加括号.

(1)如图(1)所示,可以求出阴影部分的面积是

(写成两数平方差的形式);

(2)若将图(1)中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如图(2)所示的长方形,此长方形的面积是

(写成多项式乘法的形式);

(3)比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式

;

(4)应用所得的公式计算:××解:(1)a2-b2

(2)(a+b)(a-b)

(3)a2-b2=(a+b)(a-b)

(4)原式=××1-×1+×××

=××××…×××=.

×…×1-×1-.

×…×

×