二次函数y=ax²的图像和性质优秀公开课教案

230.2二次函数：y=ax的图像和性质

教材分析：

二次函数的图像和性质是在学习了一次函数图像和性质的基础上接触到第二个函数，而y=ax的图像和性质是一般二次函数的基础，对今后研究二次函数及其与一元二次方程的关系、进一步体会数形结合的思想都有重要意义。

学情分析：

学生已经掌握了画函数图象的基本步骤，对画函数的图象有一定经验，但二次函数的图像与以前学过的一次函数的图像不同，是一条曲线（抛物线），不借助软件直接画图进行探究比较枯燥，为了突出教学重点，突破难点和培养学生的能力，我采用几何画板作图的教学方法让学生经历体验发现问题、分析问题并进一步归纳总结的过程，利用多媒体现代教学手段，把抽象的知识直观地展现在学生面前，逐步将学生的感性认识引领到理性的思考，这样的设计充分体现了以学生为主体，老师为主导的教学理念。同时通过本节课的做一做，议一议，练一练等知识的加深，真正让学生自己通过探究，有所收获，并进一步提高学生的观察、交流、概括、总结及表达的能力，而且更进一步让学生体会到数、形的转化。

教学目标：

知识目标：

(1)经历探索二次函数y=ax的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

(2)能够利用描点法作出y=ax的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax的性质。

(3)能够作出二次函数y=-x的图象，并能够比较与y=x的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

能力目标：

（1）通过画函数的图像，培养学生的动手能力

（2）通过结合函数图像揭示性质的教学，培养学生观察、比较、

抽象和概括的能力。

（3）培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题

（4）通过具体的二次函数图像抽象得到一般形式的二次函数图像特征，进而得到函数的性质，让学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。

情感目标：

通过学生在学习活动中获得成功的体验；增强学习数学的自信心。

教学重点：会画y=ax的图象，理解其性质。

教学难点：描点法画y=ax的图象，体会数与形的相互联系。

教学设计：

一、温故知新：

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？

先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）[来源:学&科&网Z&X&X&K]22222222

2yax引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即2yax入手。因此本节课要讨论二次函数（a0）的图像。

2yax板书课题：二次函数（a0）图像

二、新知探究：

22yxyx1.用描点法画出二次函数

和图像

（1）列表

引导学生观察表，思考以下问题：

22yxyx①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？

1,12②当x取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？ （1）

描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）

2yx（2）

连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和yx2的图像。

y2.练习：在同一直角坐标系中画出二次函数学生画图像，教师巡视并辅导学困生。

2yax三．辨析研讨：二次函数（a0）的图像与性质

121xyx22

和2的图像。

由上面的四个函数图像概括出：

（1）二次函数的yax图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

（2）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。

（4）当a>0时，抛物线y=ax在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上顶点是抛物线上的最低点，，并且

向上无限伸展；

当a<0时，抛物线y=ax在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，顶点是抛物线上的最高点，并且向下无限伸展。

（5）当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；

在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。

当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；

在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。

（6）抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.

|a|越小，抛物线的开口就越大。

四、课堂练习

1.根据已画好的函数图象填空：

（1）抛物线y=2x的顶点坐标是 ,对称轴是 ，

在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧， y随着x的增大而减小，

当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ,

2222

2抛物线y=2x在x轴的 方（除顶点外）。

22yx（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），

3在对称轴的左侧，y随着x的 ；

在对称轴的右侧，y随着x的 ，

当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，

当x 0时，y<0. 2.．二次函数y＝ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．

(1)y＝2x2如图(

)；

1yx22如图(

)；

(2)(3)y＝－x2如图(

)；

1yx23如图(

)；

(4)(5)y12x9如图(

)；

3yx2,23．已知函数不画图象，回答下列各题．

(1)开口方向______；

(2)对称轴______；

(3)顶点坐标______；

(4)当x≥0时，y随x的增大而______；

(5)当x______时，y＝0；

(6)当x______时，函数y的最______值是______．

4．画出y＝－2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．

五、例题讲解

2yax例题：已知二次函数（a0）的图像经过点（-2，-3）。[来源:学科网ZXXK]

（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

练习：（1）课本第16页习题

(2) 已知抛物线y=ax经过点A（-2，-8）。

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。[来源:学+科+网]2

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

六、谈收获

21.二次函数y=ax(a≠0)的图像是一条抛物线.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点

3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。 七、作业：

教学反思：

这节课是冀教版九年级数学下册的一节探究课。在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现"主体参与、自主探索、合作交流、指导引探"的教学理念。探究活动一是让学生在坐标纸上画出二次函数y=ax的图象。画图的过程包括列表、描点、连线。列表过程是我引导学生取点的，其间我引导大家要明确取点注意的事项，比如代表性、易操作性。这样学生在下一个环节就能游刃有余。学生在我的引导下顺利地画出了函数的图象。紧接着我让学生按照学案的要求自主探讨当a>0时函数y=ax的性质。探究活动二是独立画出函数的图象，然后是自主探讨当a<0时函数y=ax的性质。探讨函数的性质主要从开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标和最值方面入手，让学生从特殊函数来归纳总结一般函数的性质。应该说探究活动二在活动一得基础上让学生锻炼了自我学习的能力，学生们完成的很好。探索活动三是小组合作活动。观察自己画出的两个图象，它们代表函数y=ax的两种情况，找出a的符号不同时他们的相同点、不同点和联系点。这个环节能充分发挥小组合作的优势，让学生在谈论中体会分类思想。小组讨论完毕后我让学生展示他们的成果，大部分学生跃跃欲试，他们讨论的很全面，出乎我的预料。这里面还有个知识点我是用几何画板演示的，就是通过改变a的值让学生们观察图象的开口方向和开口宽度。几何画板在此起到了突破难点的作用，让我真正体会到了掌握几何画板对自己的教学是多么的有利。从当堂的反馈来看，绝大多数同学能掌握本节课的知识，达到了学习目标中的要求。

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