平方差公式教学实录

《公式法——平方差公式》教学设计

石家庄市第七中学

霍

娜

（一）设计背景

本节课自选河北教育出版社《义务教育教科书·数学·七年级下册》第11章第3节.公式法是在学生学习了因式分解的概念、因式分解的方法——提公因式法后，继续学习因式分解的方法.公式法的教学共计两节课，本节课是第一节，第二节是完全平方公式.从公式的结构特征来看，平方差公式相较与完全平方公式比较简单，但是学生初次接触逆向运用公式，在实际运算中也会出错较多，比如测试卷中的第3题：

下列多项式能利用平方差公式分解因式的是(

). 224xy4xy4xyA.

B.

C.

D. 4xy.

22222

还是有12.61%的学生选择错误，原因在于平方差公式的结构特征掌握不牢固，无法从形式上进行辨别是否能用公式.另外，在进行具体的因式分解运算时，由于学生的逆向思维能力薄弱，需要两步分解因式的题，就会出现解题策略上的偏差，容易出现分解不彻底的错误现象，如：x41x21x21，学生不再考虑第二个因式实际上还能继续利用平方差公式进行分解. 笔者精心备教材，结合本研究中学生的错误情况，制定出本节课的教学设计，主要是以学生为主体，引导学生思考题目特点，探索解题思路. （二）问题提出

（1）教材分析

本节课主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生观察、类比能力，让学生进一步了解分解因式与整式乘法运算之间的互逆关系，进一步发展学生的逆向思维能力.同时，在本节课的学习中还体现了数学的数学思想方法，如：“类比”思想、“整体”思想、“换元”思想.本节课的内容既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，因此在教材中起到了承上启下的作用. （2）学情分析

学生在本册书中已经学过了整式的乘法，熟悉了平方差公式，因为记住公式

的结构特征是应用平方差公式进行因式分解的前提，所以前面的已学的内容为本节课的学习奠定了一定的知识基础.在本章的前两节课学生学习了因式分解的概念和提公因式法的运用，体验运用逆向思维解决问题，也为本节课的学习打好了技能基础. 虽然本节课的知识点只有一个公式，但有关题型变化较多，学生的易错点相对也多.从测试卷中学生有关平方差公式应用情况来看，学生对于一些常见的题型掌握较好，而对于测试卷中的13题：

16ab9ab，这类需要具有整22体策略解题的题型掌握就不好，错误率比较高.通过测试卷的反映出在本节课的学习中，学生容易发生两种常见错误：一是没有意识要先提公因式，二是因式分解不彻底.

（3）教学目标

①知识与技能

（A）会用平方差公式对多项式进行因式分解. （B）让学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，然后在考虑用平方差公式分解因式. （C）培养学生对平方差公式的运用能力，体会从正反两个方面认识事物的方法.

②过程与方法

（A）经历从乘法公式探究分解因式方法的过程，培养学生的观察能力和逆向思维能力. （B）通过公式法与提公因式法的综合运用，发展学生分析问题、解决问题的能力. ③情感、态度与价值观：

（A）培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力和数学应用意识，渗透整体思想. （B）让学生在合作学习的过程中体验成功的乐趣，培养学生积极进取、克服困难的精神.

（4）教学重点、难点

重点：正确灵活地运用平方差公式分解因式. 难点：准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式.

（5）教学方法

本节课的教学活动突出学生的自主探索，让学生想在前、做在前，然后对他们的探索进行交流和点评，这样的学习过程不仅有利于更深入地掌握知识，而且更有效地提高学生的学习能力.根据教材内容再结合学生的认知特点，本节课采用观察、分析与讨论发现相结合的教学的方法完成教学目标，引导学生把握因式分解的基本思路，从而透过有形的知识，把蕴含其中的数学核心方法适时渗透到教学中.设计的例题保证基本的运算技能，避免复杂的题型训练，直接用公式不超过两次，重在引导学生把握公式法进行因式分解的思路. （6）学法指导

根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者、引导者，本节课主要让学生通过发现、探究、合作交流等方式进行学习，教师适时点拨. （三）教学过程

（1）复习回顾，发现新知

活动一：

计算：①p4p4

； ②y2y2；

11③xx

； ④2mn2mn；

33设计意图：复***方差公式的应用，为本节课逆用公式做好对比与衔接. 师生活动：教师出示幻灯片中题目，学生发现给出的两个多项式的特点，符合平方差公式的特征，能够迅速作答. 活动二：请你写出已学的平方差公式，说说它的结构特点.

设计意图：回顾平方差公式的结构特征，感受等号两边式子的特征，体会公式中字母a,b的含义，为本节课的学习做好铺垫. 师生活动：

教师提出问题，学生解答，引导学生回顾平方差公式的结构特点：（1）左边是这两个数的和与这两数的差的积；（2）右边是二项式，两项均能写成平方的形式，并且符号相反.再次引导学生去创造发现新知：

我们把平方差公式ababa2b2

反过来，就得到了

a2b2abab. 这样就成为分解因式的一个公式了. 活动三：试着将下面的多项式分解因式：

①p216； ②y24；

③x21； ④4m2n2；

9设计意图：采用层层递进的方式，引导学生感受公式法的形成过程，明白因式分解的算理依据，体会逆向思维能力解决问题. 师生活动：由前两个活动作为基础铺垫，仅仅是进行等号两边式子的互换位置，对于学生来说比较容易，同时教师引出本节课的课题. 如果一个多项式可以化为两个整式的平方差的形式，那么它就可以用平方差公式分解因式了. 活动四：认真思考后谈谈用平方差公式进行多项式的因式分解时应该满足什么条件？分解后的结果是什么形式？

设计意图：让学生再次观察多项式的结构特点，分解后的形式特点，加深学生对公式特征的掌握，为后续的方法应用奠定基础.在本研究测试卷中学生错误表现说明运用平方差公式分解因式的关键是要正确地把握公式的特征，即；两数平方的差：a2b2，可化为两数和与差的积：abab，公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 针对测试卷中学生的错误表现，在教学中进行了改进，在此环节中，让学生观察每个多项式的分解结果，说明在分解过程中，公式中a对应的项是什么，b对应的项是什么，尤其是④中第一项应变形为2m，此时2m与公式中的a对应.

2师生活动：教师给学生思考的时间，在学生回答时，引导学生规范语言，从而得出结论：当给出的多项式是两项平方的形式，而且符号相反，就可以运用平方差公式进行因式分解.分解后的结果是这两个数的和与这两个数的差的积. （2）辨析讨论，加强理解

下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解；如果不可以，请说明理由. ①x2y2

②x2y2

③x2y2

④x281

设计意图：通过辨析讨论，加深学生对公式特征的把握，生生间的辨析讨论是最有价值的课堂生成资源，教师一定放手给学生，让他们通过交流讨论的方式掌握利用平方差公式进行因式分解的关键.题目的要求中“如果可以，请分解”

目的是让学生尝试应用公式法进行因式分解，为后面的公式法的实际应用做好准备.

师生活动：给学生充足的时间进行思考、交流，通过生生间的辨析讨论得出结论，加深对公式特征的理解和把握.

（3）学以致用、巩固提高

任务一：把下列各式分解因式：

①16a2 ②4x29y2 ③m2n2④3m19 ⑤9ab4ab

2221

49设计意图：在引入公式法后，需要相应的练习进行适当的训练，设计了6道题，目的是让学生抓住公式的特征，灵活逆用平方差公式进行因式分解.在本文测试卷中学生的错误表现主要有缺乏整体意识，分解因式后的结果没有化简，所以笔者在教材给出的例题基础之上，又加入了更具有针对性的第③、⑤题，除了让学生感知“整体思想”在分解因式中的作用之外，有意识提醒学生要有规范的解题步骤.教师要给学生观察、独立思考的时间，再通过生生、师生间的交流，让学生充分表达自己的观点，教师适时点拨.让学生在互动交流中，既形成对知识的全面认识，有培养了学生观察、分析问题的能力以及合作交流能力. 师生活动：教师出示幻灯片中的内容，给学生充足时间自主解答，然后小组内交流答案后，借助实物投影机展示学生的解答步骤，此时要求各个小组派代表对解题过程和结果展示、解释，发现问题及时解决，重视知识的落实. 对每位展讲的学生要求说明，公式a2b2abab中的a,b在各题中对应的式子是什么，让学生体会整体思想在因式分解中的应用. 学生可能在第④题和第⑤题中出现结果不是最简形式，此时需要教师强调因式分解后的每一个整式必须是最简形式，需要进行去括号、合并同类项的运算. 任务二：把下列各式因式分解：

①a316a ②2ab32ab ③36m29n2

设计意图：当多项式是二项式时，要考虑逆用平方差公式分解因式，如果多项式有公因式，就要先提取公因式，教师引导学生总结分解因式的步骤.针对本研究测试卷中学生出现的“公因式有而不提”、“分解不彻底”的现象，设计了第③题，无论学生是先提公因式还是先利用平方差公式进行因式分解，教师都要及

时给予点评，最后明确：在分解因式时，有时需要用两种或者两种以上的方法，如果有公因式，就要先提取公因式，再套用平方差公式.

师生活动：教师给出问题后，学生发现前两个多项式不满足平方差公式的特征，教师适时提醒学生目前学习了因式分解的两种方法，让学生先独立思考后谈谈自己的解题策略，总结因式分解的一般步骤：一提二套，要分解到不能再分解为止.

任务二：下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指出错在哪里，并改正过来. ①4x2y24xy4xy ②ab29a3b3ab3a

③p41p21p21

设计意图：初中阶段的学生虽然比小学时的反思意识有所提高，但是在数学学习的过程中，遇到比较复杂，并且思维性较强的题目时，极少数的学生能做到检验最终结果是否正确，所以设置任务三，增加辨析题，帮助学生强化对平方差公式的应用，有针对性的解决学生的困惑. 师生活动：教师放手让学生解决，通过学生们的交流探讨，从而辨析对错，并阐明错误的原因，加深对本节课所学知识的理解.

（4）归纳总结，回归课题

教师引导式小结帮助学生梳理本节课内容，使学生形成良好的知识体系.让学生自由发言、互相补充，教师进行点评，提炼因式分解时的注意事项，既对本节课的知识进行了梳理，又点明了本节课的学习要点. （5）课后作业，巩固新知

课本149页：习题A组1，2，3，4题 习题B组 1，2题

（6）教学反思

本节课的亮点之处在于从学生的已有知识出发，始终以学生的思维进程发展为主线，采用类比引导、逐步渗透、阶梯式训练的方法，逐渐丰富、加深学生对公式法的认识.主要体现在从学生具备的已有的平方差公式出发，设计了四个活动，启发、引导学生做进一步的创新、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学

生理解并接受新知识，体会方法的形成过程. 本节课教学中多次采用小组合作交流、辨析研讨的形式，归纳提炼因式分解的步骤和注意事项，让学生对方法的掌握更牢固. 本节课的重点和难点都是通过生生间的交流、讨论突破，所以教师要调控好课堂教学，抓住课堂生成的资源，因势利导地让学生灵活运用平方差公式进行因式分解.