∴A=60或120
bsinC2sin7562当A=60时C=75
c
sinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15
c
sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理
bac2accosB
将已知条件代入，整理：x6x10
解之：x222262
2当c62时
22(622)3b2c2a2132cosA
2bc622(31)2222
从而A=60
，C=75
当c62时同理可求得：A=120
，C=15
22例3 在△ABC中，BC=a, AC=b,
a, b是方程x23x20的两个根，且
2cos(A+B)=1 第
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求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=1 ∴C=120
2（2）由题设：222ab23ab2 ∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos120
22a2b2ab(ab)2ab(23)2210
即AB=10
（3）S△ABC=11133
absinCabsin120222222例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135
求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x 则BABDAD2BDADcosBDA
即14x10210xcos60 整理得：x10x960
解之：x116 x26（舍去）
由余弦定理：
2222222BCBD16sin3082
∴BCsinCDBsinBCDsin135例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ; 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1
a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4
2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去
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当k3时
a2,b3,c4,cosC1,C109
42设夹C角的两边为x,y xy4 SxysinCx(4x)当x2时S最大=15
1515(x24x)
44例6
在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为x，然用利用互补角的2余弦互为相反数这一性质建立方程
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝222x，
2x42()252ADBDAB2在△ADB中，cosADB＝,
x2ADBD242x42()232222ADDCAC2在△ADC中，cosADC＝.
x2ADDC242又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC
xx42()25242()23222∴
xx242422解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得ABBD5，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则ACDC3由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余第
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弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝1acsinB
2∴SABCacsinBsinB
abc2abc2bb2R，其中R为三角形外接圆半径
sinBSABC1, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1 abc4R又∴所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
abc2R，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三sinAsinBsinC1角形面积公式Ｓ△ABC＝acsinB发生联系，对abc进行整体求解
22在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB
解：在△ADC中，
AC2DC2AD272325211,
cosC＝2ACDC27314又0＜C＜180°，∴sinC＝53
14在△ABC中，ACAB
sinBsinC∴AB＝sinC5356AC27.
sinB142评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝35，sinB＝，求cosC的值513第
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解：∵cosA＝32＜＝cos45°，0＜A＜π
52∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝∵sinB＝4
551＜＝sin30°，0＜B＜π
132∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符∴0°＜B＜30° cosB＝
12
13∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝又C＝180°－（A＋B）3124516
5135136516
65
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记及备用资料：
1正、余弦定理的综合运用
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：
222sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之
［例1］在△ABC中，已知sinB－sinC－sinA＝3sinAsinC，求B的度数
222解：由定理得sinB＝sinA＋sinC－2sinAsinCcosB，
∴－2sinAsinCcosB＝3sinAsinC
222∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－3 ∴B＝150°
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［例2］求sin10°＋cos40°＋sin10°cos40°的值
22解：原式＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°
222在sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，
则A＝120°
222sin120°＝sin10°＋sin50°－2sin10°sin50°cos120°
22＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°＝（22323）＝
42［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状
2解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sinA，
2222由定理得sinA＋sinC－sinΒ＝sinA，
22∴sinC＝sinB∴B＝C
故△ABC是等腰三角形
2一题多证
［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝bsinA
sinB∴2bcosC＝bsinA，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
sinB∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC又∵∴2bcosC＝bcosC＋ccosB
∴bcosC＝ccosB，即bcosB.
ccosCbsinBsinBcosB.∴,即tanB＝tanC
csinCsinCcosC∴△ABC为等腰三角形∵B、C在△ABC中，∴B＝C
a2b2c2aa2b2c2a及cosC,∴,
证法三：∵cosC＝2ba2b2ab2b化简后得b＝c
22∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形
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