复习参考题板书设计

第6章

不等式、推理与证明

第4讲

基本不等式

板块一

知识梳理·自主学习

考点1

重要不等式

a2＋b2≥ (a，b∈R)(当且仅当 时等号成立)．

a＋b考点2

基本不等式ab≤

21．基本不等式成立的条件： ；

2．等号成立的条件：当且仅当 时等号成立；

a＋b3．其中叫做正数a，b的 ，ab叫做正数a，b的

2考点3

利用基本不等式求最大、最小值问题

1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，

那么当

时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，

S2那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) 4[必会结论]

常用的几个重要不等式

(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)．

(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)．

22

[必备知识]

a＋b2a＋b(3)2≤2(a，b∈R)．

ba(4)＋≥2(a，b同号)．

ab以上不等式等号成立的条件均为a＝b. [双基夯实] 一、疑难辨析

判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 11．函数y＝x＋的最小值是2.(

) x

xy2．x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(

) yx13．若a>0，则a3＋2的最小值为2a.(

) a4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(

) 二、小题快练

1．[课本改编]下列不等式：①a2＋1>2a；②数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 2．若0≤x≤6，则f(x)＝x8－x的最大值为(

) 1643A.

B．4

C.

D.5 33

3．[课本改编]若f(x)＝x＋57A.

B．3

C.

D．4 224．[2017·上海模拟]若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

2ab5. 设a>0，b>0，则为a，b的调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，AC＝a，a＋bCB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的调和平均数．

1(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝(

) x－2a＋b1≤2；③x2＋2≥1，其中正确的个x＋1ab

板块二

典例探究·考向突破

考向

利用基本不等式求最值

xy例1

[2015·福建高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(

) abA．2

B．3

C．4

D．5 延伸探究1

若2a＋2b＝1，求a＋b的最大值．

延伸探究2

若log2x＋log2y＝1，求x＋y的最小值．

触类旁通

利用基本不等式求最值问题的解题策略

(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相

等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．

b2【变式训练1】

(1)设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________．

acax＋y＝1，(2)[2016·上海高考]设a>0，b>0，若关于x，y的方程组无解，则a＋b的x＋by＝1

取值范围是________．

考向

利用基本不等式证明不等式

111111＋1＋例2

[2017·广西模拟]已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)ababab≥9. 触类旁通

利用基本不等式证明不等式的技巧

利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．

【变式训练2】

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

1a2b2c2(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1. 3bca考向

利用基本不等式解决实际问题

例3

[2017·湖南模拟]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单76000v位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝2. v＋18v＋20l(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；

(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．

触类旁通

有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

【变式训练3】

某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即k该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销m＋1活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成

本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

核心规律

1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．

2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等．

满分策略

1.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

2.注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．

3.“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

4.要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致. 板块三

启智培优·破译高考

易错警示系列8——忽视基本不等式应用条件致误

[2017·正定模拟]若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) 2428A.

B.

C．5

D．6 55

跟踪训练

[2017·江苏徐州模拟]已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则ab2＋1的最大值为________．