小结优秀教案

《不等关系与不等式》教学设计

授课教师：黄冈市黄梅县第二高级中学

熊用义

一、教材分析

不等关系广泛地存在于自然界和日常生活中，用不等式来表示不等关系，是代数基础知识的一个重要组成部分，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。本节课是“不等式”的起始课，本节课的教学必须让学生充分感受到生活中存在着大量的不等关系，学习不等式是源自生活的需要，这不仅能激发学生学习不等式的兴趣，还能使学生认识到学习不等式的重要性和必要性。通过本节课的学习，使学生不仅能感悟到不等关系的普遍性，掌握用不等式（组）正确表示实际问题中的不等关系及如何比较两个实数（或代数式）的大小，还能向学生渗透转化与化归、分类讨论、类比等思想方法，向学生渗透数学建模、数学抽象等学科核心素养，为后面进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用。 二、教学目标 1.通过具体情境,使同学们感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景,理解不等号的意义和不等式的概念,会用不等式和不等式组表示各种不等关系,理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小. 2.在学习过程中,通过教师提供大量的学生感兴趣和富有时代感的素材,让学生在独立探究的基础上展开并充分讨论,建立起不等关系的模型，进一步发展学生的符号感和数学化能力,通过让学生回顾小结，让学生学会主动建构知识体系。通过类比思想提出猜想,并给予证明的解决问题的方法,体会分类讨论、转化与化归等数学思想方法,进一步培养学生归纳、类比、迁移能力,增强学生的数学应用意识和创新意识。

3.在数学建模过程中,经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程,激发学生的学习热情.培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质.让学生积极参与到用数学方法解决实际问题的活动中，享受寓教于乐. 三、学情分析 关于不等式学生在初中已经学习过不等式的概念,不等式的解,不等式的解集、一元一次不等式解法以及能在数轴上表示简单不等式的解集，同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用不等式来思考和解决问题，这些都是学生学习不等式的认知基础．不等关系与不等式虽不陌生，但如何让学生借助已有的数学活动经验，提炼出用不等式表示不等关系的步骤，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃；理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小；则是本课必须要突破的难点所在．为此，通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用不等式解决问题的意识，有效提升学生的概括能力尤为重要。

四、教学重点难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并理解不等式基本原理是比较两个实数的大小的依据,学会比较两个实数(表达式)的大小的基本方法——“作差法”. 难点：①如何用不等式（组）正确表示出不等关系； ②如何比较两个实数（或代数式）的大小。 五、教学方法和手段 本节课我将遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学原则”，采用以问题为载体，以学生为中心，以能力培养为目标的教学思路，充分利用多媒体辅助教学，通过教师在教学过程中的点拨、启发，让学生感悟不等关系的普遍性，并能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系及解决如何比较两个实数（或代数式）的大小。 六、教学过程 【导入】(一)观察图片，引入课题

1.观察图片,由可爱的卡通熊压跷跷板图片,引入本节课课题。

问题1:哪个卡通熊重? 1

师生活动1:学生观察照片,找出轻重关系,从而引入课题-----不等关系与不等式。

2.点明本节课主要学习的是:类似照片中轻重关系的这一类关系的知识与内容. 设计意图:引入卡通熊图片，让学生有亲切感，以照片烘托气氛，有助于提高学生主动参与和学习的积极性。

【发现】(二)阅读课题，提出问题

问题2:看到不等关系与不等式的课题?你有什么问题?你想了解什么? 师生活动:学生阅读课题——不等关系与不等式。自主提出想问的问题,想了解的内容。学生可能很容易提出类似:1.什么是不等关系? 2.什么是不等式? 3.不等关系与不等式之间是什么关系?(由于初中已接触过不等式,有可能同学们不会问),但是老师如果追问不等式的定义学生有可能说不好。

设计意图:培养学生的审题能力,提出问题的能力。

【讲授】(三)分析问题，给出答案

问题3:什么是不等关系? 师生活动:教师让学生描述有关自然世界图片中存在怎样的不等关系、日常生活中的存在怎样的不等关系、成语谚语中的存在怎样的不等关系、古代经典中的存在怎样的不等关系?举例数学学科中的不等关系?进一步体会不等关系数基本数量关系以及这种关系的普遍存在性。

回答什么是不等关系:与相等关系一样,不等关系也是自然中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在。

思考1下列四幅桂林山水图片中的山存在怎样的不等关系?

思考2看一看下列四幅图中存在怎样的不等关系?

思考3找一找下列四语句中存在怎样的不等关系? 1.雷声大，雨点小； 2.捡了芝麻，丢了西瓜; 3.道高一尺，魔高一丈; 4.三个臭皮匠，顶个诸葛亮. 思考4了解一下古代经典中存在怎样的不等关系?

2

思考5 你能举出几个有关数学学科的不等关系吗? 设计意图:图片不等关系描述是培养学生观察能力,概括能力。对学生进行热爱大自然、热爱生活教育，深化传统文化、古代经典学习意识；并培养学生的图形语言与文字语言的转化能力。举例数学学科中的不等关系是培养学生的表达能力，体会不等关系的普遍存在性和重要性。

问题4:什么是不等式? 师生活动1:请同学们写出几个不等式,体会不等式的形式、结构特点。

师生活动2:教师课件表格展示不等号的演变历史。介绍>,<号的创始人数学家哈利奥特,总结不等式的定义:用不等号(<、>、≤、≥、≠)表示不等关系的式子叫不等式。记

作:f(x)>g(x);f(x) ≤g(x)。

设计意图:让学生写不等式是培养学生从具体到抽象,从特殊到一般的研究问题方法。

问题5:不等关系与不等式之间是什么关系? 师生活动1:让学生用数学的语言表示“熊A体重轻于熊B体重”这句话。能否给“a

师生活动2:用不等式来表示不等关系

1.右图(略)是限速60km/h的路标，指示校车司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不

超过60km/h； 师生活动3:用不等式组来表示不等关系

2.伊利学生奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 将上面例子中的不等关系用不等式表示出来，答案如下： 1、V≤60km/h 2、 f≥2.5% P≥2.3% 设计意图:让学生用数学的语言表示“熊A体重轻于熊B体重”这句话是培养学生的数学语言表达能力。体会不等式是刻画不等关系的数学工具。

用不等式(组)来表示不等关系也是培养学生的数学语言表达能力,体会数学语言的简洁美,对学生进行美的教育。

【活动】(四)深入探究，实际应用

问题6:应用不等式(组)刻画实际生产规划中存在的不等关系。 例1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就减少2000本.怎样用不等式表示销售收入不低于20万元？

问1：不等关系是什么？ 答：销售收入不低于20万元 问2：销售收入怎么求？ 答：销售收入（万元）= 销售量（万本）×单价（元）

问3：本题中因为哪个量的变，导致销售量和销售收入改变? 答：单价！ 所以设每本定价为未知量x 问4：用不等式怎么表示？ 答：(8x2.50.2)x20

0.1问5：本题做完了没？还要注意什么？

答：未知量的范围:x≥2.5 与学生一起回顾小结本题用不等式表示不等关系的步骤：①找不等关系； ②设未知量；

③列不等式.注意：未知量范围不能漏！ 设计意图：从实际问题中提炼出用不等式表示不等关系的步骤，同时让学生感受到学习不等式的必要性。 3

例2某钢铁厂把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产要求， 600mm的钢管数量不能超过500mm钢管数量的3倍.怎样写出满足上述所有不等关

系的不等式呢？

师生活动:教师给学生讨论时间分析不等关系关键句,并用不等式表示不等关系的步骤解决实际问题,小组代表汇报组内成果。总结实际应用中构建数学模型流程图。

设计意图:小组讨论应用所学不等关系与不等式一节内容完成例1、例2关于生产统筹规划的实际问题,培养学生的统筹意识,提高学生的数学应用能力。

例3糖水中加糖，糖水变甜了. 问1：生活中的这种现象含有不等关系吗？若有，则不等关系是什么？ 答：含糖量加糖后比加糖前大。 不妨设a克糖水中含有b克糖，再加入m克糖. 问2：加糖前与加糖后的含糖量分别为多少？ 加糖前： b/a，

加糖后：b+m/a+m . 问3：用不等式怎么表示？ 答：b+m/a+m>b/a. 问5：最后还要注意什么？ 答：a,b,m的范围. a>b>0,m>0 问6：用数学的方法怎样检验这个不等式是正确的？ 问题7:思考：如何比较两个实数a，b的大小？（方法）

师生活动:请同学们尝试用数学符号将下面的原理补充完整. 总结不等式的基本原理: a－b>0a>b;

a－b=0a=b;

a－b<0a

设计意图:任意两个实数a,b的大小比较结果的情况分析,培养学生的数形结合的数学思想。让同学分享比较的经历,是想借助同学的语言启发同伴,从而渗透总结比较两实数大小的方法——作差法。培养学生学会分享。

问题8:证明不等式：bmbab0,m0

ama师生活动:给学生练习时间,让学生上黑板教师纠正,师生一起总结作差法的基本步骤:作差→变形→定号→结论. 设计意图:体会作差法是比较两个数(式)大小的最基本方法,规范学生的解题过程。 【练习】(五)反馈练习，总结提升

师生活动1:学生完成巩固测试题: 练习：

当x>2时，比较x3与2x2-x+2的大小

师生活动2:让学生谈谈有哪些收获?给你印象最深有哪些? 设计意图:采用一道简单的题目,检测学生对作差法比较两个数(式)大小内容的掌握和使用情况

【小结】(六)总结提炼，收获满满 一、知识方面：

1、什么是不等关系？什么是不等式？两者之间什么关系；

2、用不等式(组)来表示不等关系；

3、作差法比较两个实数或代数式的大小（步骤）。

二、数学思想方面：

1、转化的思想：实际问题转化为数学问题； 2、讨论的思想：分类讨论（注意定义域）。

三、数学核心素养：

1、数学模型：从实际问题中构建数学模型解决问题； 4

2、数学抽象：将实际问题中不等关系抽象为不等式。

注：（1）实际应用中数学建模；

实际问题：不等关系

数

模

学

型

抽

表

象

示

数学问题：不等式（组）

（2）用不等式表示不等关系的步骤： ①找不等关系；②设未知量；

③列不等式.注意：未知量范围不能漏！ （3）作差法的基本步骤:作差→变形→定号→结论. 设计意图：学生在谈收获的同时，就是学生主动建构知识的过程，加深了对本节知识的理解和方法步棸的掌握。 教师小结：通过这节课我们发现数学和我们的生活息息相关，数学来源于生活又服务于生活，学好数学（不等式）能解决很多实际问题，让我们的生活变得更加美好！所以，我们要好好学习数学。 七、作业布置 （1）必做题：教材P74练习1,2；P75 A 组4,5,2 （2）选做题：上网查找有关资料，写一篇小论文：由生活中的“不等关系”想到的。 设计意图:在布置作业环节中,设置了两组练习,一组必做题,一组选做题,这样可以使学生在完成基本学习任务的同时,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而激发学生的学习兴趣.

八、板书设计

不等关系与不等式 1、实际应用中数学建模 例1. 2、用不等式表示不等关系的步骤 例2. ①找不等关系 ②设未知量 思考题： ③列不等式 注意：未知量范围 例3. 3、作差法的基本步骤: 练习：

作差→变形→定号→结论. 5