阅读与思考 海伦和秦九韶名师教学设计1

教学研究

已知三角形的三个边a、b、c求它的面积S,有公式Sp(pa)(pb)(pc), 其中1p(abc)。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这2个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。

为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。

而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。

一种方法是用解三角形基本的知识解决。

已知三角形的三边为a、b、c，设p求证：三角形的面积S证明：由正弦定理S21(abc)，

2p(pa)(pb)(pc). 1112absinC可得S2a2b2sin2Ca2b（1cos2C），

244a2b2c22(a2b2c2)2（）又由余弦定理cosC，从而有

2ab4a2b222122（a2b2c2）122（a2b2c2）Sab（1）ab

2244ab4162112[4a2b2（a2b2c2）][(2aba2b2c2）(2aba2b2c2）]

161611[((ab)2c2）(c2(ab)2)](abc)(abc)(cab)(cab)

1616 (abc)(abc)(cab)(cab)2222(abc)(abc2c)(cab2b)(cab2a)

2222p(pc)(pb)(pa)

即三角形的面积Sp(pa)(pb)(pc).证毕。

另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。

证明：在三角形ABC中，

教学研究

设CBa,CAb,BAc,CB|a|a,CA|b|b,BA|c|c,C为向量a,b,的夹角，则

cba,于是有

2212.

c（ba）ab2ab, ab（abc）22222C ab1cosC,

又因为S|a||b|sinC，2|a||b|1S|a|2|b|2sin2C

所以42BA A 1ab21（1()）|a|2|b|2（1cos2C）|a|2|b|2

44|a||b|1[|a|2|b|2(ab)2]

4于是就有S1|a|2|b|2(ab)2.

2将上述|a|a,|b|b,代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。

在这里还要强调上面得到的S1|a|2|b|2(ab)2用向量表示，在向量深入学习后，就会21|ab|. 2发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识—外积，即

(ab)2|a|2|b|2(ab)2，从而还有S对于向量这个将几何和代数结合的数学工具，现在高中教学中正在不断重视它，希望这里的一个证明可以给大家提供一点关于向量工具的应用。