1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教案设计

第一课时

1.2独立性检验的基本思想

一、学习目标

1、知识与技能

通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想。

2、过程与方法

在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值k的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。

3、情感、态度与价值观

通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。

二、教学重点、难点

教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。

教学难点：1、理解独立性检验的基本思想。

2、了解随机变量K2的含义。

3、独立性检验的步骤。

三、教学策略

教学方法：诱思探究教学法。

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学。

四、教学过程：

问题引入：我们经常听到这些说法：

吸烟对患肺癌有影响；

数学好的人物理一般也很好；

是否喜欢数学课程与性别之间有关系；

人的血型会决定人的性格；

星座与人的命运之间有某种联系。

这些说法都有道理吗？我们如何检验这些说法的正误呢？引出课题“独立性检验的基本思想及其初步应用”。

认识分类变量：

对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，等等．在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．

知识点拨：

对分类变量的理解

(1)分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等. (2)分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义，如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.

问题情境：

为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

3-7吸烟与肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

那么吸烟是否对患肺癌有影响吗？

像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

思考1：你如何由列联表中的数据判断吸烟是否对肺癌有影响？能不能从患肺癌的人数来判断？应该从什么量来判断？——由比例来判断。

学生活动1：

（1）请算出在不吸烟者中，患肺癌比例；——

0.54％

（2）请算出在吸烟者中，患肺癌比例；——

2.28％患有肺癌．

（3）由计算结果，你会做出怎样的判断？——直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．

（4）你的判断一定正确吗？能知道判断犯错误的概率是多少吗？

思考2：除了用比例来判断吸烟是否对患肺癌有影响外？还有其它方法来判断吗？

为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图下图所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．

学生活动2：

（1）观察等高条形图，你得到什么结论？——吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．

（2）你的判断一定正确吗？能知道判断的正确率是多少吗？

思考3：通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．但是我们不知道我们判断的正确率有多大，那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

为了回答上述问题，我们先假设

不患肺癌

患肺癌

7775 2099 9874 42 49 91 总计

7817 2148 9965

H0：吸烟与患肺癌没有关系．用A表示不吸烟，

B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立，即假设

H0等价于P(AB）=P(A）×P(B) .

把表3-7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

表3-8 吸烟与肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌a c a+c b d b+d [来源学科网ZXXK]

总计

a+b c+d a+b+c+d[来源:学科网]

思考4：

（1）在表3-8中，事件AB发生的频数是什么？——

a

（2）事件A发生的频数是什么？

——

a+b

（3）事件B发生的频数是什么？

——

a+c

（4）P(AB）、P(A）、P(B)分别是什么？它们之间有什么关系？——

在H0成立的条件下应该有aabac、、

nnnaabac，(其中nabcd为样本容量)

nnn∴(a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) ，即adbc，

∴adbc0

（5）| ad-bc |越小，说明什么问题？——吸烟与患肺癌之间关系越弱；

| ad-bc |越大，说明什么问题？——吸烟与患肺癌之间关系越强．

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量：

nadbcK2

(1) abcdacbd（其中nabcd为样本容量）

思考5：

（1）K2越小，说明什么问题？——

吸烟与患肺癌之间关系越弱；

（2）K2越大，说明什么问题？——

吸烟与患肺癌之间关系越强．

结论：若

H0

成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小．

学生活动3：

2996577754942209922请根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算K的观测值——K

56.632，78172148987491思考6：

这个值到底是大还是小，它能告诉我们什么呢？

2统计学家经过研究后发现，在

H0成立的情况下，P(K6.635)0.01.

(2)

(2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过

6. 635 的概率非常小，近似为0 . 01，所以K6.635是一个小概率事件，基本不发生．

思考7：

（1）我们计算的K的观测值k≈56.632 ，远远大于6. 635，它发生的概率大不大？是不是一个小概率事件？

（2）你觉H0成立吗？——有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．

（3）你的判断会犯错误吗？犯错误的概率有多大？——这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” .

（4）上述的方法相比于之前讲的两种方法，它有什么优势？——能知道判断犯错误的概率。

（5）你能总结上述检验方法及它的一般步骤吗？（教师引导学生归纳）

结论：在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：如果

k≥6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．在该规则下，把结论“H0

成立”错判成“H0

不成立”的概率不会超过22222P(K26.635)0.01, 即有99％的把握认为从不成立．

一般步骤：

①假设两个分类变量X与Y没有关系. ②计算出K2的观测值k . ③判断k的值的大小，即k是不是一个小概率事件，从而确定X与Y有关的程度或无关系. 结论：这种判断两个分类变量是否有关系的方法称为“独立性检验”

定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 思考8：

独立性检验与反证法有何异同-----

相类似，独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法

反证法

独立性检验

假设命题的结论不正确

假设H0：两个分类变量X，Y没有关系

在假设的前提下，推出在H0成立的条件下，得矛盾

到一个小概率事件

所以假设不成立，原命所以H0不成立，即两个题成立

分类变量X，Y没有关系

课堂练习：

1．下列说法中正确的是(

)

A ①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率，则作出拒绝H0的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

2．关于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是

(

)

C A．k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小

B．k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小

C．k的值越接近于0，“X和Y无关”可信程度越大

D．k的值越大，“X和Y无关”程度越大

3．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力

(

)

C A.平均数与方差

C.独立性检验

B.回归直线方程

D.概率

小结：请学生说出独立性检验的一般步骤。

课外作业：课本P.16 习题1.2

1. 2. 学生预习：课本P.13

1. 临界值表

2. 例1

3. P.14～15 思考与练习