复习参考题教学设计

《基本不等式》教学设计

云南省武定民族中学

刘存义

一、教学目标

1.

了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用; 2.

经历探索基本不等式的过程；

3.

会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题。

二、教学重点：掌握基本不等式，会用此不等式求某些函数的最值。

三、

教学难点：

1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求最大值和最小值。

四、学情分析

1.

在学生已有经验的基础上，对基本不等式内容的理解较为容易；但学生对“构造型”的求函数最值问题存在解题能力的障碍；教学中要加以引导和示范，尽量让学生发现解题方法；

2.

学生对基本不等式求函数最值的原理认识存在困难，多呈现记忆型；特别是为何要验证等号成立的条件的理解较为肤浅；教学中用反例的方法提高学生对问题本质的理解。

五．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

六．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

七．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

八、

教学方法

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

基本不等式简要教学思路，教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

教学过程：

一、知识梳理：

先请一位同学来叙述一下基本不等式。

如果a、bR，那么abab，当且仅当a=b时取“=”号。

2这个不等式告诉我们在使用它的时候要注意什么？

必须是两个正数的关系，当且仅当取等号的条件，还有两数和或积是定值才可以。

学习这个不等式有什么用处？当然是为了解决一些数学问题的！那么这节课我们就来共同来探究基本不等式到底可以解决哪些数学问题，在这过程中我们将共同想办法处理遇到的困难。

【设计意图】学生在上一环节的学习中已感受到几何实验的作用，此处再次设计实验使学生对用此研究方法产生更深刻的理解，提高了学生探究问题的能力，也为后面利用实验的方法独立探究奠定基础. 问题：教师给出定义：对

于

任

意

两

个

正

数 a、b的几何平均数，两个正数a、b的算术平均数.请大家讨论这两种平均数之间有何不等关系？

二、探究新知：

根据探究1得到

1、重要不等式

2、基本不等式

通过这道题我们知道用基本不等式可以求某些函数的最值，但在使用时要注意前提条件是两个正数，但是当条件不满足时我们可以创造条件凑正数再用基本不等式求解。

我们学习数学有什么用？当然是为了通过数学的思想方法来解决我们在生活中遇到的实际问题了！下面我们来看看这个问题怎么办？

例、一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

分析：首先需要根据题目设未知数x、y，建立x与y的关系即2x+2y=40，求xy的最大值。

先让学生稍加思考后，前后左右讨论。不限制学生的思维，若遇到问题解决不了再加以引导。学生可能会出现多种解法，包括二次函数的方法、基本不等式的方法……根据情况选取部分有代表性的（可以是典型错误的，可以是做的非常正确的）解法实物投影，相应同学讲解其做法，大家共同学习或纠错。但重点强调使用基本不等式的做法要注意的地方。

解法：

设矩形菜园的长、宽分别为x、y米，则2x+2y=40即x+y=20 当且仅当x=y即x=10,y=10时等号成立

∴这个菜园的长为10米，宽为10米时面积最大，最大面积是100米

当我们想用基本不等式求两数乘积最大值时，要保证这两数和是定值。条件不满足就要想办法凑定值。如果是要求两数和的最值就要保证积是定值。

师生活动：建立函数模型解答问题，体会基本不等式在解题中的作用. 【设计意图】（1）使学生利用基本不等式解决简单的实际问题；

（2）尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些问题的重要性. 【讲授】归纳梳理，体会研究价值

问题：本节课主要学习了什么？在本节课学习的过程中，你有何体会？能否的最小值？

师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备. 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔. 利用基本不等式求最值时，必须注意前提条件：

①，但当条件不满足时，需要添负号使其转化为正数；

②积（或和）为定值，有时需要根据条件凑定值；

③当且仅当时等号必须成立。我们将这三个前提条件简记为“一正二定三相等”。

三、反馈练习

学生独立完成，教师巡视根据情况随时引导或给予鼓励，最后请学生实物投影并讲解。

四、拓展提高

（根据时间而定是否练习，也可以留做课后思考）

1、当x0时，x1的最小值为__________，此时x=_____________。

x2、若实数x,y,且xy5,则3x3y的最小值是（

）

A、10

B、63

C、46

D、183

五、小结收获

本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？

我们以基本不等式为基础，解决了函数最值、值域问题，还发现了不等式在实际生活中的用处，并且在解题过程中进一步巩固了使用基本不等式常用的思想方法。（教师提出对基本不等式的掌握要求）

本节课我们用到基本不等式它要求a、b都是正数，它既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具，我们还可以用下面的等价变形来解决问题：。

同学们课后要进一步领会基本不等式成立的前提条件如何用，为学习下一节课基本不等式的应用打下坚实的基础。

六、作业

（1）作业手册P061:1、2、6 （2）课后思考：如何求函数的最小值或最大值？