信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学设计内容推荐

第二章

随机变量及其分布列

2.4 正态分布

一、教学目标：

知识与技能：

1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用；

2.结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；

过程与方法：

通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：1、正态分布密度曲线的特点；

2、正态分布密度曲线所表示的意义；

难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

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频率/组距总体密度曲线

单位Oab它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象

表示或近似表示：

,(x)1e2(x)222,x(,)

式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线

（二）新知探究

1、一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(aXB),(x)dx, ab则称

X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)．如果随机变量

X 服从正态分布，则记为X～N(,2)

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标

X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实

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际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．

2、正态分布N(,2)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布

通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

3、通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称

正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上

讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质

4、正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

（2）曲线关于直线x=μ对称

（3）当x=μ时，曲线位于最高点

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（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中：

五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学

5、标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线

标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位

任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题

6、3原则：

12ex22，P(X)0.6826

P(2X2)0.9544

P(3X3)9974

通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称之为3原则

（三）应用巩固

例1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）f(x)121ex22,x(,)

（２）f(x)22e(x1)28,x(,)

（３）f(x)22(x1)2e,x(,)

2答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5

例2、求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．

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解：利用等式p(x2)(x1)有

p(2)(1)(2)11五、小结

1)、正态曲线；

2）、正态分布；

3）、正态分布曲线的特点；

六、作业

1.课时检测

七、教学反思：

=(2)(1)1=0.9772＋0.8413－1=0. 8151 通过分析正态分布密度曲线的解析表达式，得到正态分布密度曲线的特点，借助对比不同参数的正态分布密度曲线的图象，得到两个参数的含义，并直接给出了正态分布随机变量分别取值在(,]，(2,2]，(3,3]的概率。

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