小结教学目标

《不等式》章末小结教学设计

侯

勇

一、教材内容分析

1、教材的地位与作用 从知识的应用价值上来看，不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系。讨论方程或方程组解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最值等问题，解决线性规划问题及各类实际问题时，都要经常用不等式的知识。在应用不等式解决实际问题中蕴含着丰富的数学思想如数形结合、函数与方程、优化思想等； 从内容的人文价值上来看，不等式拥有及其丰富的现实背景，在解决实际问题中有着广泛的应用，有利于学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识。 在以往的高中数学教学中，不等式部分重在理论阐述、推导和解不等式的技巧训练。新课程标准中更多的强调不等式的现实背景和实际应用。把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述、刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探究。

2、教学内容解析 本课内容是《普通高中课程标准试验教科书·数学(必修5)》(人教A版)第三章《不等式》章末复习小结课。作为章节的复习课，是在学生系统的学习了不等关系和不等式性质、经历了从现实情境中抽象出一元二次不等式过程、掌握了一元二次不等式的解法、从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题、并能加以解决、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题的基础上对本章知识进行复习小结。本节课要体现统领全局的地位和作用，使学生对本章知识结构有全面的认识并且对本章的重点知识进行复习整理。 二、教学目标分析

根据上述教材地位与内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标： 【1】

认知目标：通过实例探究帮助学生回顾、梳理本章知识点及建构知识结构框图，系统地

认识本章内容，培养学生整合及运用所学知识解决具体问题的能力。

【2】

智能目标：在问题的探究中，逐步培养学生提出数学问题的能力，进而提高学生分析问题、解决问题的能力；加深学生对把解不等式问题转化为研究对应方程的根和对应函数图象的理解；进一步体会数形结合思想在线性规划问题中的应用。

【3】

情感目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学来源于生活又服务于生活，培养学

生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 三、教学问题诊断分析 学生在初中阶段就已经接触了一元二次不等式问题，在本章中又进一步地学习了一元二次不等式的解法。能较为熟练地用平面区域表示二元一次不等式（组），接触了应用线性规划知识解决最优解的问题。运用基本不等式求解简单的最大（小）值问题。 但是学生对于将一元二次不等式问题转化为方程、函数问题来思考的思路比较淡薄，从实际情景中抽象出线性规划问题的能力较差，应用线性规划求最优解的方法比较模糊。对基本不等式运用的前提条件容易忽视。同时学生对本章各个知识之间没有形成系统的网络结构。因此，在本节课的教学中以从实际情景中抽象出本章的知识点，构建本章知识网络为教学重点，以从实际情景中抽象出线性规划问题，并正确理解其几何意义是教学难点

四、教学对策分析 新课程标准强调不等式是描述、刻画优化问题的一种工具，因此，本节课中我将以学生熟悉的生活实例，创设问题情境，在问题的探究中形成知识链，通过学生自我探究和合作交流，引导学生归纳整理，完成知识网络的构建。在教学中需采用实物投影仪、多媒体课件辅助教学。

五、教学基本流程

（1）、知识梳理

（2）、典型例题

（3）、思维拓展

（I）．知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba (2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab011

ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法 3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

2222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第86页的表格)

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

axbxc02a0的根x1,x2(x1x2)

bx1x2

2a

ax2bxc0(a0)的解集

xxx或xx

12bxx

2a



R



ax2bxc0(a0)的解集

xx1xx2

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”

2（四）基本不等式ab（II）.典型例题

1、用不等式表示不等关系

例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。

2、

比较大小

例3 (1)（3＋2） ６＋26；

2（2）（3－2）2

（6－1）2；

（3）1

5221；

652(4)当a＞b＞0时，log1a

log1b

(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4) 42(6)(x21)2 xx1

3、

用不等式的性质求取值范围

例4 如果30x42,16y24,则

(1) xy的取值范围是 , (2) x2y的取值范围是 , (3) xy的取值范围是 , (4) x的取值范围是 y例5已知函数f(x)axc,满足4f(1)1,1f(2)5,那么f(3)

的取值范围是 .

4、

解一元二次不等式

22例6 解不等式：（1）2x7x40；（2）x8x30

2

2例7已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

5、

二元一次方程（组）与平面区域

xy60xy0例8 画出不等式组表示的平面区域。

y3x5

6、

求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

x2y2例9已知x、y满足不等式2xy1,求z=3x+y的最小值。

x0,y0

7、

利用基本不等式证明不等式

例10 求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2

8、

利用基本不等式求最值

例11若x>0,y>0,且281,求xy的最小值

xy

（III）[思维拓展] 1．

已知1ab5，1ab3，求3a2b的取值范围。（[-2，0]）

2xy300x2y2502． 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，x0y0及相应的z的最大值

3．求f(x)4x9(x>5)的最小值

x5