1.3 二项式定理（通用）教学内容

二项式定理

一、教学目标

知识与技能：（1）掌握二项式定理，二项式展开式，二项式系数，通项公式

（2）会利用二项式定理求其中的特定项

（3）掌握二项式定理的逆用

（4）了解二项式定理的推导过程

过程与方法：（1）通过实际生活例子，利用分类、分步计数原理推导二项式定理

（2）引导学生观察二项式定理的特点，总结其规律并识记二项式定理

（3）通过例题熟悉二项式定理的正用，逆用

（4）利用二项式定理求其中的特定项，并总结其一般规律与化解注意事项

情感、态度与价值观：（1）结合学生已有知识，承前启后，通过实际生活例子，利用分类、分步计数原理推导二项式定理，解决实际问题，培养学生理论知识解决实际问题的能力。感知数学知识的连贯性与生活性。（2）总结二项式定理规律并识记二项式定理，利用二项式定理求其中的特定项，培养学生归纳、概括能力，化解技巧。

二、教学重难点

重点：掌握二项式定理，二项式展开式，二项式系数，通项公式

难点：二项式定理的推导，二项式定理的逆用

三、教学过程设计

教师活动

1.导入新课

复习两个计数原理以及排列组合知识，引出实际生活例子：一个人打算从北京出发，沿途经过天津，郑州，陕西，成都，重庆，…，最后到达三亚（共n1个城市），每次到达一个城市，他都可以选择坐汽车，坐飞机，坐轮船，坐火车等交通工具，先将其分为两类：坐车去（包括大巴车，小汽车等）以及不坐车去（坐飞机，坐轮船等），假设到达每个城市坐车均有a种，不坐车均有b种方法，则他从北京到三亚一共有多少种交通工具选择方式？

法一：（分步计数）

共n1个城市，分为n步，每一步有ab种交通工具选择方式，故共ab种方法

n学生活动

分别利用分步计数原理和分类计数原理解决该问题

设计意图

复习两个计数原理以及排列组合知识，利用排列组合知识解决实际生活问题

法二：（分类计数）

按照有多少次坐车，有多少次不坐车分类

1.全部坐车a

1n12.只有1次不坐车Cnab

n

…

rnrr

有r次不坐车Cnab

…

n

全部不坐车b

故总共有：

1n12n22rnrr

anCnabCnab...Cnab...bn

根据法一、法二计数同一事件，故有

1n12n22rnrrnnabnCn0anCnabCnab...Cnab...Cnb

2.讲授新课

二项式定理

n0n1n12n22rnrrnn

abCnaCnabCnab...Cnab...Cnb观察二项等式右边叫：二项展开式

式定理的特征，识r二项式系数：Cn（0rn，rN，nN）

记并掌握二项式定rnrr通项公式：Tr1Cnab（0rn，rN，nN）

理

二项式定理的特征：

项数：共n1项

次数：按照第一个字母降幂，第二个字母升幂排列

a从n次逐渐降低至0次，b从0次逐渐升高至n次

每一项的总次数为n次，b的次数与上标一致

注意：（1）应用二项式定理的时候，a、b是不能够换位置的？

思考：为什么a、b是不能够换位置的？

（2）二项式系数与系数的区别：

r二项式系数：Cn

系数：除了未知数以外的部分，包括符号，常数的影响

41

x例1、求的展开式

2x

4343111012C4x法一:xC4xC4x

2x2x2x

2n123.有2次不坐车Cnab



从

项数，次数，系数三个方面识记掌握二项式定理

311412C4x2x

222x16x2x

法二: 42x1111443x2x1(16x32x

2216x16x2x2x24x28x1)x22x

44311

22x16x21思考题1、求1的展开式

x答案:1

01例2、化简Cnx1Cnx1nn1kx1...1Cnknk4

学生练习

二项式定理的逆用

通项公式中，符号，次数的化解

4641234

xxxx...

1nCnn

解:原式x11xn

n

例3: (1)12x的展开式中,x的系数等于________ 5224(2)xx的展开式中，x的系数是________ x21x(3)二项式的展开式中的常数项为________ 2xr解：（1）通项公式Tr1C52xC5r2rxr，令r2

r107

则T32C5x40x，则x的系数等于40

（2）通项公式Tr1222222r7rr令72r3，

2rx72r，C7xC7xr34则r2，x的系数为84，即原式中x的系数是84

（3）通项公式Tr1C10xr210r1r1202r2Cxx

1022xrrr20rr1

C10x2

2r5

令20545r0，得r8，则T9

2256归纳：注意通项公式的化解过程中，符号，次数的化解，根式要化为分数型指数幂，含有常数的部分，包括符号全部作为系数放在未知数前方。

思考题2：12x1x的展开式中，x的系数为_____ 342答案：6

1例4：求x1展开式中的常数项

x11111法一：x1x1x1x1x1

xxxxx

x5511

x

按照多项式乘法原则，要出现常数项，可能有以下情况：

（1）每个括号都出1，则相乘为11

5（2）有1个括号出x，有1个括号出则相乘为C5xC4111，3个括号出1

x133C3120

x1（3）有2个括号出x，有2个括号出，1个括号出1

x123

则相乘为C5x2C32C3130

x则常数项为51

2

分步乘法原理以及多项式乘法原理的应用

法二：通项公式Tr11C5rxx5r10r5

r1

xx

Tk5r5r0r5的通项公式为：

x5rkCk5r1C5krx5r2k0k5r

xk

根据r2k5，则有以下几组解：

（1）r1,k2

12

T2C5C4x0130

（2）r3,k1

31

T3C5C2x0120

3（3）r5,k0

T51

常数项为51

3、归纳小结

（1）二项式定理，二项展开式的正用，逆用，通项公式的应用，通项公式的化解注意事项

（2）括号含有2个字母以上的二项式定理的应用

4、作业

课时作业（十一）