3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义名师课堂实录

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标：1.掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并进行计算．

2.了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．

教学重点：掌握复数的代数形式的运算法则。

教学难点: 了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义。

一、复习准备：

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．

(2)加法运算律

交换律

结合律

z1＋z2＝z2＋z1

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 温馨提示

注意在进行复数的加减运算时，是实部与实部、虚部与虚部相加减，不能混淆．

二、讲授新课：

1..复数加减法的几何意义

如图所示：设复数z1，z2对应向量

→→分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为

平行四边形，则与z1＋z2对应的向量

是______，与z1－z2对应的向量是_______．

→温馨提示：向量Z1Z2对应的复数是z2－z1，而不是z1－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)复数与向量一一对应．(

) (2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(

) (3)若复数z1，z2满足z1－z2>0，则z1>z2.(

) →解析：(1)错，正确说法是：复数z＝a＋bi与平面向量OZ＝(a，b)一一对应．

(2)错，复数的减法满足结合律．

(3)错，如z1＝2＋2i，z2＝1＋2i，有z1－z2＝1>0，但复数z1与z2不能比较大小．

答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为(

)

A．－4＋20i

B．－2＋10i

C．－8＋20i

D．－2＋20i 解析：因为z＋5－6i＝3＋4i，所以z＝(3＋4i)－(5－6i)＝－2＋10i.答案：B

→→→→3．向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i

C．0

B．10－8i

D．10＋8i →→解析：OZ1＋OZ2对应的复数为(5－4i)＋(－5＋4i)＝0.答案：C

4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________．

解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.答案：－1

→→→5．在复平面内的△ABC中，AC对应的复数为6＋5i，AB对应的复数为－3＋6i，则BC对应的复数为________．

→→→→解析：因为BC＝AC－AB，所以BC对应的复数为(6＋5i)－(－3＋6i)＝9－i.答案：9－i

类型1

复数的加减运算(自主研析) [典例1]

设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解析：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，

3＋x＝5，x＝2，所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，所以所以所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[22－y＝－6，y＝8.－(－8)]i＝－1＋10i. 归纳升华

1．

复数代数形式的加、减法运算，实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此应准确地提取复数的实部与虚部．

2．

作复数的加减运算时，可以把“i”看作一个字母，类比多项式的加减中的合并同类项，若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

[变式训练]

计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；

(2)(－1＋2i)＋(1－2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

解：(1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i；

(2)原式＝(－1＋1)＋(2－2)i＝0；

(3)原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. 类型2

复数加减法的几何意义(互动探究) [典例2]

如图所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求：

→→→(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数．

→→→→→→解：(1)AO＝－OA，所以AO所表示的复数为－3－2i.因为BC＝AO，所以BC所表示的复数为－3－2i.

→→→→(2)CA＝OA－OC.所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. [迁移探究1]

(改变问法)若典例2中条件不变，试求点B所对应的复数．

→→→→→→解：因为OB＝OA＋AB＝OA＋OC，所以OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.故B点对应的复数为1＋6i.

[迁移探究2]

(改变问法)若典例2中条件不变，求对角线AC，BD的交点M对应的复数，并求该复数的模．

→→11解：由题意知，点M为OB的中点，则OM＝OB，由探究1中点B坐标为(1，6)得点M坐标为2，3，

2()1137所以点M对应的复数为＋3i，且zM＝＋3i＝. 222归纳升华

1．根据复数的几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．

2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与模有关的问题，将复数向点及向量加以转化可有助于问题的解决．

类型3

复数加减法的综合问题

[典例3]

已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．

解：法一：设w＝z－3＋4i，则z＝w＋3－4i.从而z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，所以|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4，5)为圆心，1为半径的圆．如图①所示，因为|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.

法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以N(－1，1)为圆心，1为半径的圆，又

|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图②所示．所以|z－3＋4i|max＝|MN|＋1＝41＋1.|z－3＋4i|min＝|MN|－1＝41－1. 归纳升华

1．解决复数问题时，设出复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，列出方程，图①

图②

||

将复数问题实数化．

2．利用复数加减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简捷地解决复数问题．

3．掌握以下常用结论．

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则：

(1)四边形OACB为平行四边形；

(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

(3)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

[变式训练]

设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.

(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，所以2ac＋2bd＝0.

所以|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝

a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.所以|z1－z2|＝2.

→→→法二：设复数z1，z2，z1＋z2分别对应向量OZ1，OZ2，OZ.

→→因为|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，所以平行四边形OZ1ZZ2为正方形．所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝|OZ|＝2.

1．对复数加减法的理解：

(1)把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式，则复数的加减运算类似于多项式的加法、减法运算，只需“合并同类项”即可．

(2)两个复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法运算可以推广到多个复数相加减的情形：

(3)两个复数的和差是复数，但是两个虚数的和差不一定是虚数．

2．运用复数加减法运算的几何意义应注意：

(1)向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．

(2)利用加法的“首尾相接”和“指向被减数”的特点，在三角形内求得第三个向量及其对应的复数．