小结教学设计和教学实录

基本不等式及其应用

一、教学内容分析

本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以基本不等式应重点研究。

从教学设计理念上来看，教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用，不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习，更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，引导学生主体参与、探究本质、经历过程。

从知识应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求周长一定，面积最大；面积一定，周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。

从学生能力的培养来看，基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二、学情分析

学生在初中阶段，学***方、开方、勾股定理、圆等概念，高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解，学生对不等式有了初步的了解和应用。但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生数形结合、类比转化等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。

另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并在第二课时重点学习与掌握。

三、教学目标设计

1. 理解并掌握两个基本不等式，并能运用它们解决一些简单问题，如本节课导入环节中的实际问题；

2. 思考生活中实际问题的解决方案，感受基本不等式的知识产生过程，并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势；

3. 经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、类比代换等学习思想；

4. 学会用数学的眼光看世界，用数学思维认知世界，养成善于思考的良好习惯；

四、教学重点及难点

1. 教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用；

2. 教学难点：基本不等式的应用，包括解决实际问题，求最值；

3. 几点说明：整堂课主要采用

“问题

——

思考

——

剖析

——证明——应用”的流程，从问题出发，应用数形结合理解不等式，并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件，尤其是对等号成立时充要条件的理解；在基本不等式的应用时，通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证，然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考，接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习，逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。

五、教学方法与手段

本节课采用“问题——思考——剖析——归纳——应用”的教学设计思路：

1. 提出问题、启发诱导，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学

生探究思索；

2. 讲练结合，同时采用变式教学，巩固应用，加深理解；

3. 以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，直观演示，不仅启发思考，也

加深学生对基本不等式的理解。

六、教学过程设计

1. 问题提出

问题：班级要用班费为秋游做准备，其中有一项要准备塑料绳子，把树干围成矩形作为活动的场所，由于班费有限，如何用最短的绳子围成最大的面积呢？

设计意图：引导学生在已学知识的基础上，针对该问题进行思考与讨论，不仅提高对于基本不等式学习的兴趣，更培养它们分析问题的能力；

2. 基本不等式1的引入

问题：在客观世界中，有些不等关系是永远成立的，引发学生试举一些恒成立的不等关系. 根据学生回答，针对

（

）进行提问，既然

，那么可以用

代替不等式中的

吗？

得到：

进一步变形可得：

思考：

l 不等式恒成立，

和

应该满足什么条件；

l 不等式的等号成立时，

和

应该满足什么条件；

设计意图：

l 基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系，引出

；

l 引发学生思考

和

所满足的条件，帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解；

3. 基本不等式1 对于任意实数

和

，有

，当且仅当

时等号成立. （1）基本不等式1的辨析

l ；

l 当且仅当

时等号成立；

思考：“当且仅当”的含义是？

l 当a=b时，取等号，即

；

l 仅当a=b时，取等号，即

。

设计意图：对应问题引入中的两个思考，再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。

（2）基本不等式1的几何解释

a b l 已知：四个全等的直角三角形构成正方形，直角边分别为a、b，当a≠b时，构成的正方形如左图所示，当a＝b时，构成的正方形如右图所示. l 那么：大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的

大小关系是？

设计意图：给出基本不等式1的几何解释，帮助学生加深对基本不等式1的理解，尤其是对“当且仅当”的理解。

4. 基本不等式2的引入

问题：当a>0,b>0时，在不等式

中，以、分别代替a、b，得到什么？

得到：

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，有助于今后的学习。

5. 基本不等式2 对于任意正数

、

，有

，当且仅当

时等号成立. 把

和

分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （1）基本不等式2的辨析

l ；

l 当且仅当

时等号成立；

思考：“当且仅当”的含义是？

l 当a=b时，取等号，即

；

l 仅当a=b时，取等号，即

。

（2）基本不等式2的证明

证明：法1.因为

、

为正数，所以

、

均存在. 由基本不等式1，得，当且仅当

时等号成立. 即，当且仅当时等号成立. 法2.因为

，所以

. 当

时，

.当时，

. 所以，当且仅当

时，

的等号成立. （3）基本不等式2的扩充

思考：当、为零时，基本不等式2是否成立？ 基本不等式2的扩充：对于任意非负数

、

，有

，当且仅当

时等号成立. （4）基本不等式2的几何解释

l 已知：AB是半圆O的直径，过圆周上任意一点D做AB的垂线，令AC=a、CB=b，

那么DO=_____________，DC=_______________；

l 得到：____________________________________；

设计意图：给出基本不等式2的几何解释，帮助学生加深对基本不等式2的理解，尤其是对“当且仅当”的理解. 6. 基本不等式的应用

例1：已知

，求证：

，并指出等号成立的条件. 证明：方法多种，可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手，进行求证，同时也可以运用基本不等式求最值的方法；

其中一种方法示范板书为：

因为

，所以

、

同号，并有

，

. 所以，

.当且仅当

，即

时等号成立. 思考：若

，则代数式

的取值范围是什么？

设计意图：考察学生运用基本不等式时，要特别注意等号取到时的条件是否满足。

例2：若

的最小

值为________,此时

练习2：

的最小

值为________,此时

设计意图：帮助学生辨识基本不等式的结构特点，以及求最值的简单运用。

例3. 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？

猜想：由几何画板演示得出.

解：设矩形的长、宽分别为

、

（

、

）且

（定值），则同样周长的正方形的边长为

. 矩形面积，正方形面积

由基本不等式2，得，又由不等式的性质得

，即

. 由题意，

（定值），所以

（定值）.当且仅当

，即矩形为正方形时，矩形的面积最大. 思考：例3中的

，

为什么要为定值呢？如果不是定值，面积有最大值吗？

设计意图：

l 通过例2和例3，先让学生通过基本不等式的运用，体验并思考“当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值”，这样在第二课时给出该结论效果会更好；

l 例3也解决了情境创设环节提出的实际问题，让学生切实感受到学以致用的乐趣；

7. 课堂小结

l l l 初步应用两个基本不等式求最值. 8. 作业练习

（1）2.4.1卷1（详见附录）

（2）思考题

l 通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释. l 在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？

l 整理一些基本不等式的常用变式并给出证明. 七、教学设计说明及反思

本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用。基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的. 本堂课借助多媒体及教学软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果。整堂课主要采用

“问题

——

思考

——

剖析

——证明——应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明两个基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。

在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。在教学过程中，尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用，但是学生依然会忽视限制条件，尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件，因此，基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）将在第二课时重点学习与掌握。

在教学过程中始终“关注学生的思维发展”，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、解决问题的能力。但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到符合相应结构特点的关系式时，暂时想不到运用基本不等式解题，这时可以放手让学生采用其它方法尝试，然后引导学生运用基本不等式解题，对比体现其优点，加深学生对于基本不等式运用的真实体验。

通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解类比代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想，逐步实现从知识结构的学习层次向能力水平的提高层次进行一定的转变与提升。