1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计(第二课时)

1.2回归分析的基本思想及其初步应用（2课时）

一、教学目标：

知识与技能：

能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；通过散点图及相关指数比较不同模型的拟合效果．

过程与方法：

通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想；让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型；

难点：如何启发学生“对变量作适当的变换(等量变换、对数变换)”，变非线性为线性，

建立线性回归模型．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）创设问题情境

我国是世界产棉大国，种植棉花是我国很多地区农民的主要经济来源，在棉花的种植过程中，病虫害的防治是棉农的一项重要任务，如果处置不当就会造成棉花的减产．其中红铃虫就是危害棉花生长的一种常见害虫，在1953年，我国18省曾发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨．如图就是红铃虫的有关图片：

红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为25～32 ℃，相对湿度为80%～100%，低于20 ℃和高于35 ℃卵不能孵化，相对湿度60%以下成虫不产卵．冬季月平均气温低于－4.8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死．

为采取有效防治方法，有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系．现收集了红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：

温度x/℃

产卵数y/个

21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 (1)试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28 ℃时产卵的数目．

(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？

学生活动：类比前面所学过的建立线性回归模型的步骤，动手实施．

活动结果：(1)画散点图：

^通过计算器求得线性回归方程：y

＝19.87x－463.73. ^当x＝28 ℃时，y

＝19.87×28－463.73≈93，即温度为28 ℃时，产卵数大约为93. (2)进行回归分析计算得：

R2≈0.746 4，

即这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化．

设计目的：通过背景材料，加深学生对问题的理解，并明白“为什么要学”．体会问题产生于生活，并通过问题的解决复习建立回归模型的基本步骤．

（二）

探究新知

提出问题：结合数据可以发现，随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 ℃时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看93个比66个却多了27个，是什么

原因造成的呢？

学生活动：分组合作讨论交流．

学情预测：由于我们所建立的线性回归模型的相关指数约等于0.746 4，即解释变量仅能解释预报变量大约74.64%的变化，所占比例偏小．这样根据我们建立的模型进行预报，会存在较大的误差．我们还可以从残差图上分析一下我们所建立的回归模型的拟合效果：

残差数据表：

x y 残差

21 7 53.46 23 11 17.72 25 21 －12.02 27 24 －48.78 29 66 －46.5 32 115 －57.11 35 325 93.28 画出残差图

根据残差图可以发现，残差点分布的带状区域较宽，并不集中，这表明我们所建立的回归模型拟合效果并不理想．之所以造成预报值偏差太大的原因是所选模型并不理想．实际上根据散点图也可以发现，样本点并没有很好地集中在一条直线附近，故变量之间不会存在很强的线性相关性．

设计目的：引导学生对结果进行分析，从而发现存在的问题，激发好奇心、求知欲．同时培养学生对问题的洞悉能力，增强对结果的敏感自检能力．

理解新知

提出问题：如何选择合适的回归模型进行预测呢？

学生活动：学生讨论，教师合理引导学生观察图象特征，联想学过的基本函数．

学情预测：方案一：建立二次函数模型y＝bx2＋a. 方案二：建立指数函数模型y＝c1ac2x. 提出问题：如何求出所建立的回归模型的系数呢？我们不妨尝试解决方案一中的系数．

学生活动：分组合作，教师引导学生观察y＝bx2＋a与y＝bx＋a的关系．

学情预测：通过比较，发现可利用t＝x2，将y＝bx2＋a(二次函数)转化成y＝bt＋a(一次函数)．

求出x，t，y间的数据转换表：

x t＝x2

y 21 441 7 23 529 11 25 625 21 27 729 24 ^29 841 66 32 1 024 115 35 1 225 325 利用计算器计算出y和t的线性回归方程：y

＝0.367t－202.54，

转换回y和x的模型：y

＝0.367x2－202.54. 当x＝28 ℃时，y

＝0.367×282－202.54≈85，即温度为28 ℃时，产卵数大约为85. 计算相关指数R2≈0.802，这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化．

提出问题：提出问题“如果选用指数模型，是否也能转换成线性模型，如何转化？”

学生活动：独立思考也可相互讨论．

教师可启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂？”可引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系．

学情预测：可利用取对数的方法，即在y＝c1ac2x两边取对数，得logay＝c2x＋logac1. 提出问题：在上面的运算中，由于底数a不确定，对于x的值无法求出相应的logay，这时可取a＝10时的情况，以便利用计算器进行计算，试求出回归模型．

学生活动：合作协作，讨论解决．

学情预测：建立数据转换表：

x z＝lgy y 21 0.85 7 23 1.04 11 25 1.32 21 ^^^27 1.38 24 29 1.82 66 32 2.06 115 35 2.51 325 根据数据，可求得变量z关于x的回归方程：z

＝0.118x－1.665. 转换回y和x的模型：y

＝100.118x^^－1.665. 当x＝28 ℃时，y

≈44，即温度为28 ℃时，产卵数大约为44. 计算相关指数R2≈0.985，这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化．

提出问题：试选择合适的方法，比较方案一和方案二在数据拟合程度上的效果有什么不同？

学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．

活动结果：

方案一

相关指数R2

0.802 残差平方和

15 448.432

残差图

方案二

0.985 1 450.673

无论从图形上直观观察，还是从数据上分析，指数函数模型都是更好的模型．

设计目的：引导学生进行不同模型的比较，体会“虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好，为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型”．

提出问题：由上面的分析可以看出，回归模型不一定是线性回归模型，对于非线性回归模型，我们的处理方法是什么？

学生活动：独立思考，回顾上面的解决过程．

学情预测：选用非线性回归模型时，一般思路是转化成线性回归模型，往往要用“等量变换、对数变换”等方法．

设计目的：让学生整理建立非线性回归模型的思路．

（三）应用巩固

例1为了研究某种细菌繁殖个数y与时间x的关系，收集数据如下：

天数x(天) 繁殖个数y(个) 试建立y与x之间的回归方程．

思路分析：先画出散点图，根据散点图确定回归模型的类型，然后求y与x之间的回归方程．

解：根据上表中的数据，作出散点图

1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190

由图可以看出，样本点分布在某指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，则上

表变换后如下：

x z 作出散点图

1 1.79 2 2.48 3 3.22 4 3.89 5 4.55 6 5.25

从图中可以看出，变换后的样本点分布在某条直线附近，因此可用线性回归模型来拟合．

^由表中数据可得，z与x之间的线性回归方程为z

＝0.69x＋1.112，

则y与x之间的回归方程为y

＝e0.69x^＋1.112. 例2混凝土的抗压强度X较易测定，其抗弯强度Y不易测定，已知X与Y由关系式Y＝AXb表示，工程中希望由X估算出Y，以便应用．现测得一批对应数据如下：

X Y 141 23.1 152 25.3 168 25.9 182 29.8 195 31.1 204 31.8 223 32.5 254 34.8 277 35.2 试求Y对X的回归方程．

思路分析：题目中已经给出回归模型为Y＝AXb类型，故只要通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤即可．

解：对Y＝AXb两边取自然对数得：lnY＝blnX＋lnA，做变换y＝lnY，x＝lnX，a＝lnA，则上述数据对应表格如下：

X Y x y 141 23.1 4.95 3.14 152 25.3 5.02 3.23 ^168 25.9 5.12 3.25 182 29.8 5.20 3.39 ^195 31.1 5.27 3.44 204 31.8 5.32 3.46 ＋0.017 2223 32.5 5.41 3.48 254 34.8 5.54 3.55 277 35.2 5.62 3.56 根据公式可求得y

＝0.64x＋0.017 2，则Y

＝e0.64lnx^^b^＝1.02X0.64. 变式1：若X与Y的关系由关系式Y

＝β

X＋α

表示，试根据给出的数据求Y对X的回归方程．

活动设计：学生分组讨论，尝试解决．

^活动成果：Y

＝0.086X＋13.005. 变式2：试选择合适的方法比较上述两种回归模型，相对于给出的数据哪一个的拟合效果更好？

活动成果：计算残差平方和与相关指数，对于模型Y＝AX，残差平方和Q

(1)＝9.819，相关指数R21＝0.930 4；对于模型Y

＝β

X＋α

，残差平方和Q

(2)＝12.306，相^^b^^b^b关指数R22＝0.908，故模型Y＝AX的拟合效果较好．

设计意图：熟悉判断回归模型拟合效果的方法．

（四）达标检测

1．相关指数R2，残差平方和与模型拟合效果之间的关系是(

) A．R2的值越大，残差的平方和越大，拟合效果越好

B．R2的值越小，残差的平方和越大，拟合效果越好

C．R2的值越大，残差的平方和越小，拟合效果越好

D．以上说法都不正确

2．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为____________________，残差平方和为__________，相关指数为______________．

答案：1.C

2.0

0

1 3．某种书每册的成本费Y元与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：

x Y 1 10.15 2 5.52 3 4.08 5 2.85 10 2.11 20 1.62 30 1.41 50 1.30 100 1.21 200 1.15 1检验每册书的成本费Y元与印刷册数的倒数之间是否有线性相关关系，如有，求出Yx1对的回归方程．

x11解：把置换为z，则z＝，从而z与Y的数据为：

xxz Y 1 10.15 0.5 5.52 0.333 4.08 0.2 2.85 0.1 2.11 0.05 1.62 0.033 1.41 0.02 1.30 0.01 1.21 0.005 1.15 根据数据可得r≈0.999 8>0.75，故z与Y具有很强的线性相关关系．

^^^所以b

≈8.976，a

≈1.120，从而y

＝8.976z＋1.120. ^18.976又z＝，所以y

＝＋1.120. xx

五、小结

1．数学知识：建立回归模型及残差图分析的基本步骤；非线性模型向线性模型的转换方法；不同模型拟合效果的比较方法：相关指数和残差的分析．

2．数学思想：数形结合的思想，化归思想及整体思想．

3．数学方法：数形结合法，转化法，换元法．

六、作业

1.课时检测

七、课后记