引言课堂实录【1】

选修

4-5

不等式选讲——引言

一、学习目标

知识与技能：掌握不等式基本性质，均值不等式，柯西不等式，以及各种证明不等式的方法，使学生灵活应用各类型不等式解决和分析问题；

过程与方法：通过了解不等式及其证明的几何意义与背景，采用类比的学习方法学习不等式，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解；

情感、态度、价值观：理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教学重点难点

1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；

2、本专题的教学难点：

三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、

绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。

三、教材分析

选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的4个模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：

第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式

6 个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求

理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，

学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”，

教材通过一些简单问题，

回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的

课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法在必修5不等式章节已经有简单介绍，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，

比如舍掉或加进一些项，

在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等。本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，

教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型

函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.第四题。排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究

——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。

第四讲是“数学归纳法证明不等式”．

数学归纳法在选修

2-2 中学习，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。

四、教学计划

1、回顾并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有： 第一、初中课标要求的不等式与不等式组

(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。(2)解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

第二、高中必修5不等式内容： (1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。(4)基本不等式及其应用（求最值）。

第三、高中选修

2-2 推理与证明中的比较法、综合法、分析法、

反证法、数学归纳法等内容。回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。

五、作业

通过查阅资料，了解柯西在数学方面的造诣，下节课可以制作ppt，可以通过讲授的形式和同学分享。