1.3 二项式定理（通用）名师教学视频（文字实录）

《二项式定理》导学案

安顺市民族中学

张晓飞

班级

姓名

【学习目标

】 1. 能从特殊到一般理解二项式定理；

2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项；

3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念. 【学习重点】用计数原理分析(ab)2的展开式，得到二项式定理. 【学习难点】用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

【学法指导】利用从特殊到一般的思想方法，观察、归纳、大胆猜想、证明从而得出二项式定理.

【学习过程】

一、旧知设疑

公式： (ab)= 2(ab)3= 4(ab)请写出：=

5(ab) =

请问： (ab)100= ？

二、新课导学

探究：

二项式定理

2(ab)活动一：观察的展开式,(a+b)2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2= (a+b)* (a+b)

= (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb,每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前， (a+b)2的展开式共有2*2=22项，而且每一项a,b次数和都是2且每一项都是都是

的形式。

2探究：用组合的思想如何得到a，ab，b2？其系数与组合数有何关系？

提示：我们以取b的个数为标准：

1.(ab)2的展开0C2式2第一0C2项a2，两个括号都不取b的情况有种 ,则a前的系数为

2.展开式第二项2ab中的b可以从哪个括号中来？有 种选法，则2ab前的系数为 23.最后一项b，这两个b分别从(ab)(ab)中的两个括号来，有_ 种选法; b前的系数为 2(ab)那么，= （系数用组合数表示）

33(ab)(ab)活动二：观察的展开式,若把写成(ab)(ab)(ab)

2

探究：用组合的思想如何得到a3，a2b，ab2，b3？其系数与组合数有何关系？

提示：1.(ab)的展开式第一项a3，每个括号内都不取b的情况，有 种选法；

2.展开式第二项3a2b中的b可以从(ab)(ab)(ab)中哪个括号中来？有____种选法；

3.展开式第三项3ab2中的b可以从(ab)(ab)(ab)中哪个括号中来？有___ 种选法，此项

33ab2

中b确定后，a只能从剩余一个括号中取出；

4.最后一项b3，这三个b分别从(ab)(ab)(ab)中的三个括号来，有____种选法.

那么，(ab)=

（系数用组合数表示）

请仿照以上两个实例的分析方法尝试从组合数角度写出(ab)的展开式及(ab)展开式

453(ab)4=

(ab)5=

猜想：(ab)=

n二项式定理

(ab) （nN）.

上述公式叫做二项式定理（binomial theorem）

n(ab)右边的多项式叫做的二项展开式,共有___ ____项, n其中各项的系数______ _ _____叫做二项式系数, 式中的______________叫做二项展开式的通项，它是展开式的第

项，用

表示，

即

思考：(1) 各项的次数与二项式的次数n有什么关系？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么变化趋势？

三、典型例题

（2x例1：求

1x）6的展开式. 观察：例1中展开式的第3项是多少？

思考：（1）展开式的第3项的系数和二项式系数分别是多少？

12 （2）你能否直接求出展开式的第３项？或x的系数？

练习：求

四、学习小结: 今天我学到了什么？

五、布置作业：

作业本：P37、习题1.3 A组 2（2）；4（1）；5。

（2x216）x的展开式中的常数项和第三项；

13x2x3x思考题：如何求展开式中含x的项？