一 比较法教案和学案内容

第二讲

一

一、选择题

1．设0

) A．a

B．b

C．c

D．不能确定

解析：

∵02x＝4x>2x，

∴只需比较1＋x与11－x的大小．

∵1＋x－11－x＝1－x2－1x21－x＝－1－x<0，

∴1＋x<11－x. 答案：

C 2．已知a，b，c，d∈{正实数}且acb

) A.aab<＋ccb＋d

B.a＋cacb＋d

C.ab

D．以上均可能

解析：

∵a，b，c，d为正数，

∴要比较aa＋cb与b＋d的大小，

只要比较a(b＋d)与b(a＋c)的大小，

即ab＋ad与ab＋bc的大小，

即：ad与bc的大小．

又∵ab

∴ab

A 3．已知a>2，x∈R，P＝a＋1a－2，Q＝12x2－2，则P，Q的大小关系为(

)

A．P≥Q

C．P

解析：

∵a>2，∴a－2>0，

11P＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4. a－2a－2121－2＝4.∴P≥Q. 又Q＝x－2≤22答案：

A B．P>Q

D．P≤Q

4．已知a，b∈R，则“a＋b>2，ab>1”是“a>1，b>1”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

∵a>1，b>1⇒a＋b>2，ab>1 a＋b>2，ab>1⇒/ a>1，b>1 1举例说明a＝3，b＝. 2答案：

B 二、填空题

5．设a>b>0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y. 解析：

∵a>b>0，

∴x－y＝a＋b－a－(a－a－b) ＝bb－

a＋b＋aa＋a－bba－b－a＋ba＋b＋aa＋a－b<0. ＝答案：

< a＋b6．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠C＝90°，则的取值c范围是________．

解析：

由题意知c2＝a2＋b2≥2ab，

ab1即2≤. c2a＋b∴＝ca2＋b2＋2ab＝c22ab1＋2≤2. c(当且仅当a＝b时取等号)．

a＋b又三角形中a＋b>c.∴1<≤2. c答案：

(1，2] 三、解答题

7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明：

3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，

从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. a2b28．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2.求证：＋≥1. a＋1b＋1解答：证明：

因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于

a2(b＋1)＋b2(a＋1)≥(a＋1)(b＋1)，

即a2b＋a2＋ab2＋b2≥ab＋a＋b＋1. 等价于a2＋b2＋ab(a＋b)≥ab＋a＋b＋1，

将a＋b＝2代入，只需要证明a2＋b2＋ab＝(a＋b)2＝4≥ab＋3，即ab≤1. 而由已知a＋b≥2ab，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．

a－1b＋1a2b2另证：因为a，b都是正实数，所以＋≥a，＋≥b. 44a＋1b＋1a－1b＋1a2b2两式相加得＋＋＋≥a＋b，

44a＋1b＋1a2b2因为a＋2＝2，所以－≥1. a＋1b＋1

9．设a，b，c是不全相等的正实数．

a＋bb＋cc＋a求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222证明：

方法一：要证：lg只需证：lga＋bb＋cc＋a＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c

222a＋bb＋cc＋a2·2·2＞lg(abc) a＋bb＋cc＋a只需证：··＞abc

222∵∴a＋bb＋cc＋a≥ab＞0，≥bc＞0，≥ca＞0，

222a＋bb＋cc＋a··≥abc＞0成立．

222∵a，b，c为不全等的正数，∴上式中等号不成立．

∴原不等式成立．

方法二：∵a，b，c∈{正实数}，

∴a＋bb＋cc＋a≥ab＞0，≥bc＞0，≥ca＞0，

222又∵a，b，c为不全相等的实数，

∴a＋bb＋cc＋a··＞abc，

222a＋bb＋cc＋a2·2·2＞lg(abc)，

∴lga＋bb＋cc＋a即lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222