复习参考题PPT配套教学设计内容

变量间的相关关系与统计案例

一、考纲要求：

1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；

3.通过典型案例了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法并能初步应用独立性检验的思想方法解决一些简单的实际问题；

4.了解回归分析的基本思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题.

二、本章知识脉络及重难点

重点:能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法及其简单

应用.

难点：对独立性检验、回归分析的基本思想方法的理解.

三、教学策略：

教学方法：诱思探究教学法 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

四、教学过程

（一）知识梳理

学生活动：先用3～5分钟的时间回顾本章的主要内容．主要目的是再现本节课所要复习的知识、技能、方法与思想．

1.变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报. (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)回归直线方程的求法：设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则^^^回归直线方程(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为y＝bx＋a，则

1





xi－xyi－yxiyi－n

x

y^i＝1i＝1b＝＝，nn2

xi－x2x2i－n

xi＝1i＝1nn^^a＝y－b

x.

1n1n其中x＝xi，y＝yi，(x，ni＝1ni＝1y)称为样本点的中心. (3)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. （4）相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．

3.独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量. (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表

x1

x2

总计

2y1

a c a＋c y2

B D b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

n（ad－bc）2构造一个随机变量K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(3)独立性检验:利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. （二）考点突破

考点一、

相关关系的判断

例1、变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(

) A.r2＜r1＜0

B.0＜r2＜r1 C.r2＜0＜r1

D.r2＝r1

学生活动;自主探究给出答案

点评: 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱. 考点二、

求回归方程

例2（线性回归模型）：某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表: 年份

年份代号t 人均纯收入y

2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 2

(1)求y关于t的线性回归方程. (2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:bti1nitiyyiti1nt2,aybt. 学生活动：自主探究，小组讨论。

点评：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法．采用回归分析基本思想，解决实际问题的基本步骤如下：①明确对象；②画散点图；③选择模型，即通过观察分析散点图确定回归方程的^^^类型，如果观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y

＝b

x＋a

；

例3;(非线性回归模型)(2015新课标Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

【解析】(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程.

^由于d＝108.8^^＝＝68，c＝y－dw＝563－68×6.8＝100.6，

1.6^^所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68x.

^^(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

13.6^^z＝0.2×(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12，所以当x＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值.

2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

点评：非线性回归问题可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、

3

指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出跟这些散点拟合得最好的函数，然后再采用变量的变换，把问题转化为线性回归问题，使问题得以解决．

考点三、独立性检验

【例4】

某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).

(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：

50岁以下

50岁以上

总计

主食蔬菜

主食肉类

总计

(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析. 参考数据：

P(K2≥k0)

k0

0.10

2.706

0.050

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.001 10.828 思路分析：根据列联表，求出K2的观测值，再进行判断．

点评：独立性检验问题的求解策略

(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．

nad－bc2(2)K法：通过公式K＝先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论．

a＋bc＋da＋cb＋d22设计目的：通过这组题目的解答，使学生在进一步加深对所复习基础知识、方法、思想的理解基础上，能力方面有所提高．目的是训练、培养学生灵活运用和综合运用知识解决问题的能力．这组题目一般先由学生稍作思考，再由教师精讲．

（三）

课堂小结

1．本章的重要题型：(1)回归分析思想的应用；(2)独立性检验思想的应用．

2．本章涉及的主要数学思想与方法：数形结合思想、化归思想等．

（四）作业：跟踪检测

（五）教学反思：

4

跟踪检测

1、在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样1本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(

) 2A.－1

1B.0

C.

D.1 22、对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断(

)

A.变量x与y正相关，u与v正相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

B.变量x与y正相关，u与v负相关

D.变量x与y负相关，u与v负相关

3、在两个变量Y与X的回归模型中，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的是(

) A．R2＝0.98

B．R2＝0.80

C．R2＝0.50

D．R2＝0 4、为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：

男

女

总计

理科

13

7

20

文科

10

20

30

总计

23 27 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 50×（13×20－10×7）2根据表中数据，得到K＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性23×27×20×302约为________. 5、登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：

气温(℃)

山高(km)

18

24

13

34

10

38

－1 64 由表中数据，得到线性回归方程y＝－2x＋a

(a∈R).由此请估计山高为72 km处气温的度数为(

) A.－10

B.－8

C.－4 D.－6 6、有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀

非优秀

总计

5

甲班

乙班

总计

10

c

b 30

2已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是________(填序号). 7①列联表中c的值为30，b的值为35；②列联表中c的值为15，b的值为50；

③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；

④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.

6、电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

男

女10

合计

非体育迷

55

体育迷

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．

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