1.3 二项式定理（通用）教案和学案内容

1．3

二项式定理

整体设计

教材分析

《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．

二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．

课时分配

3课时

1．3.1

二项式定理

教学目标

知识与技能

1．能用计数原理证明二项式定理；

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

过程与方法

1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；

2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．

情感、态度与价值观

1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；

3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．

重点难点

教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．

教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．

教学过程

引入新课

我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：

(1)两个计数原理的内容是什么？

(2)排列的定义与排列数公式是什么？

1

(3)组合的定义与组合数公式是什么？

活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．

活动结果：(板书) (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n！n个不同元素中取出m个元素的一个排列．Am. n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n－m)！(3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取m出m个元素的一个组合．Cn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！＝. m！m！(n－m)！设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．

提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？

活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．

活动成果：

(a＋b)1＝a＋b (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．

探究新知

(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4，a3b，a2b2，ab3，b4. 提出问题1：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

活动设计：学生自由发言．

活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．

设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．

提出问题2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：

(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝(

)a4＋(

)a3b＋(

)a2b2＋(

)ab3＋(

)b4

括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．

活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，a4的系数是C0恰有1个取b的情况有C1a3b的系数是C1恰有2个取b的情况有C24；4种，4，4种，333a2b2的系数是C24，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4个都取b的情况有4404132223344C4种，b4的系数是C44，∴(a＋b)＝C4a＋C4ab＋C4ab＋C4ab＋C4b. 设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．

2

提出问题3：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？

活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．

活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．

设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．

提出问题4：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：

－－－(a＋b)n＝(_)an＋(_)an1b＋(_)an2b2＋…＋(_)anrbr＋…＋(_)bn(n∈N*) 活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论．

活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

－－an，an1b，…，anrbr，…，bn. (2)展开式各项的系数：

n0每个都不取b的情况有1种，即C0n种，a的系数是Cn；

n－1恰有1个取b的情况有C1b的系数是C1n种，an，…，

－nrr恰有r个取b的情况有Crb的系数是Crn种，an，…，

nn有n个都取b的情况有Cnn种，b的系数是Cn，

n1nrn－rrn∴(a＋b)n＝C0b＋…＋Cnna＋Cnab＋…＋Cnanb(n∈N)，

这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．

呈现二项式定理——

0n1n－1n－22rn－rrn(a＋b)n＝Cna＋Cnab＋C2b＋…＋Cnab＋…＋Cnnanb(n∈N) 设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的．

理解新知

提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．

活动成果：

(1)它有n＋1项，各项的系数Ckn(k＝0,1，…n)叫二项式系数；

(2)各项的次数都等于二项式的次数n. 设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．

提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导．

活动成果：(板书) (1)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

kn－kkn－kk(2)Cnab叫二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项Tk＋1＝Ckb；

na(3)字母a，b可以是数，式子或其他．

设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．

运用新知

3

11展开(1＋)4. x11144641212313解法一：(1＋)4＝1＋C14()＋C4()＋C4()＋()＝1＋＋2＋3＋4. xxxxxxxxx11146413223解法二：(1＋)4＝()4(x＋1)4＝()4[x4＋C14x＋C4x＋C4x＋1]＝1＋＋2＋3＋4. xxxxxxx点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便．

【巩固练习】

1求(2x－)6的展开式．

x解：先将原式化简，再展开，得

2x－1611152433425(2x－)6＝()＝3(2x－1)6＝3[(2x)6－C16(2x)＋C6(2x)－C6(2x)＋C6(2x)－C6xxxx6012132(2x)1＋C6]＝64x－192x＋240x－160＋－＋. 6xx2x32求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．

思路分析：先把通项写出，分清什么是二项式系数，什么是系数．

－解：(1＋2x)7的展开式的第4项是T3＋1＝C3173×(2x)3＝C323×x3＝35×8x3＝280x3. 7×7×所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280. r点评：①要注意展开式的第r＋1项，对应于二项式系数Cn；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系．

【巩固练习】

1求(x－)9的展开式中x3的系数．

x1解：(x－)9的展开式的通项是

x1r9－rr9－2rC9x(－)r＝(－1)rC9x. x根据题意，得

9－2r＝3，

r＝3. 因此，x3的系数是

(－1)3C39＝－84. 【变练演编】

1．(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35? 12．(x－)9的展开式中，含有x6项吗？若有，系数为多少？含有x5项吗？若有，系数x为多少？

请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．

41．解：C37＝C7＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35. 9－2r2．解：根据通项(－1)rCr，当9－2r＝6时，r无整数解；

9x当9－2r＝5时，解得r＝2，所以系数为36. 所以展开式中，不含x6项，含有x5项，系数为36. 4

设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．

【达标检测】

1．求(2a＋3b)6的展开式中的第3项．

2．求(3b＋2a)6的展开式中的第3项的系数．

3．求(1＋2i)5的展开式．

42421．解：T2＋1＝C26(2a)(3b)＝2 160ab；

42422．解：T2＋1＝C2(3b＋2a)6的展开式中的第3项的系数为4 860. 6(3b)(2a)＝4 860ba.所以，3．解：因为a＝1，b＝2i，n＝5，由二项式定理，得

122334455(1＋2i)5＝C05＋C52i＋C5(2i)＋C5(2i)＋C5(2i)＋C5(2i)

＝1＋10i－40－80i＋80＋32i ＝41－38i

课堂小结

1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．

2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数”．

3．思维收获：类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想．

补充练习

【基础练习】

1．已知(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值．

2．已知(ax＋1)7(a≠0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值．

【答案或解答】

n(n－1)(n－2)11．依题意C3＝7n，

n＝7Cn，即6由于n∈N，整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8. 234432．依题意C57a＋C7a＝2C7a. 由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±【拓展练习】

3．计算：(a＋1)5－(a－1)5. －－－14．求证：32n＋C132n2＋C232n4＋…＋Cn32＋1＝10n. n·n·n·答案：3.解：(a＋1)5－(a－1)5

4233245142332＝[(a)5＋C15(a)＋C5(a)＋C5(a)＋C5a＋1]－[(a)－C5(a)＋C5(a)－C5(a)14322＋C45a－1]＝2[C5(a)＋C5(a)＋2]＝10a＋20a＋4. －－112(n－1)4．证明：右边＝10n＝(9＋1)n＝(32＋1)n＝32n＋Cn·3＋C232(n2)＋…＋Cn32＋1＝n·n·－－n－1232n＋C132n2＋C232n4＋…＋Cn·3＋1＝左边，

n·n·故原式得证．

设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——5

10. 5

探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a＋b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

6