小结教学设计范文

数系的扩充与复数

安徽省天长中学 魏旭东

考纲导读

1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

基础过关

1．复数：形如

(a,bR)的数叫做复数，其中a , b分别叫它的

和

．2．分类：设复数zabi (a,bR)：(1) 当

＝0时，z为实数；(2) 当

0时，z为虚数；(3) 当

＝0, 且

0时，z为纯虚数.3．复数相等：如果两个复数

相等且

相等就说这两个复数相等.4．共轭复数：当两个复数实部

，虚部

时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．5．若z＝a＋bi, (a, bR), 则

| z |＝

；

zz＝

.6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做

，

叫虚轴．7．复数z＝a＋bi(a, bR)与复平面上的点

建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就

比较它们的大小.9．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设z1abi,z2cdi (a,b,c,dR)，则(1) z1z2＝

；(2) z1z2＝

；(3) z1＝

(z2

).z210．几个重要的结论：⑴

|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)⑵

zz＝

＝

.2⑶

若z为虚数，则|z|2

z 填或11．运算律⑴

zmzn＝

. ⑵

(zm)n＝

.

⑶

(z1z2)n＝

(m,nR). 典型例题

m2m6例1. m取何实数值时，复数z＝＋(m22m15)i是实数？是纯虚数？m3m212m150m5解：① z是实数m30② z为纯虚数m212m150m2m60m3或m2m30变式训练1：当m分别为何实数时，复数z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2.

已知x、y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x．解：设xabi,则yabi(a,bR)代入由复数相等的概念可得a1,b1z2azb变式训练2：已知复数z=1＋i，如果2=1－i,求实数a,b的值．zz1z2azb(ab)(a2)i由z=1＋i得2==（a＋2)－(a＋b)i zz1ia21a1从而，解得．(ab)1b2例3．计算：(1i)40(1i)401i20052i

12i解：提示：利用(1i)22i,i2005i

原式＝0 变式训练3：

若z2z10，求z2002z2003z2005z2006

解：提示：利用z31,z4z

原式＝z2002(1zz3z4)2

例4. 已知a4,aR，问是否存在复数z，使其满足zz2iz3ai（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由

x2y22y3

解：提示：设zxyi(x,yR)利用复数相等的概念有2xay22ya2a216a2300|a|4zi

22455i（i为虚数单位）无解．

2i例5. 证明：在复数范围内，方程|z|2(1i)z(1i)z证明：原方程化简为

22i

|z|2(1i)z(1i)z13.i设zxyi

(x、y∈R，代入上述方程得xy2xi2yi13.x2y212x2y3(1)8x212x50.

将（2）代入（1），整理得(2)160,方程f(x)无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R, 若z1z2

z1＝15i＝2＋3i, 1i于是z1z2=4a2i=(4a)24,z1=13.

由(4a)24<13，得a2－8a＋7<0，1

小结归纳

1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2．设z＝a＋bi

(a，bR)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法. 3．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握. 4．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.