一 数学归纳法公开课教案

数学归纳法

对应学生用书P39

数学归纳法

(1)数学归纳法的概念：

先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

(2)数学归纳法适用范围：

数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．

(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：

①证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等)时命题正确；

②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．

由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都正确．

对应学生用书P39

[例1]

证明：当n≥2，n∈N＋时，

利用数学归纳法证明恒等式

1－11－11－1…1－12＝n＋1. 4916n2n[思路点拨]

注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明．

2＋1313[证明]

(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝. 442×24∴当n＝2时，等式成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即：

1－11－11－1…(1－12)＝k＋1

4916k2k第1页

1111－1－…1－2

当n＝k＋1时，49k1－12

k＋11k＋11－＝2

2kk＋1＝k＋1kk＋2k＋2k＋1＋1·＝＝. 2kk＋122k＋12k＋1∴当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式成立．

利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．

1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有

11111111－＋－＋…＋－＝2n＋2＋n＋4＋…＋

234n－1n

12n成立时，

(1)第一步检验的初始值n0是什么？

(2)第二步归纳假设n＝2k时(k∈N＋)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；

(3)若第二步归纳假设n＝k(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立．

111解：(1)n0为2.此时左边为1－，右边为2×＝. 242(2)假设n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明n＝2k＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．

(3)若假设n＝k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n＝k＋2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立．

1112n2．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋nn＋12×1证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，

1＋1所以左边＝右边，等式成立．

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(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，

即1＋1112k＋＋…＋＝. 1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋kk＋11111则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋k1＋2＋3＋…＋k＋k＋12k＋122k＋12k12k2＝＋＝＋＝＝. k＋11＋2＋3＋…＋k＋k＋1k＋1k＋1k＋2k＋1k＋2k＋1＋1这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对任何x∈N＋等式都成立．

[例2]

求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．

[思路点拨]

本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明．

[证明]

(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，

那么当n＝k＋1时，x2k2－y2k2

＋＋用数学归纳法证明整除问题

＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k

＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，

∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．

即n＝k＋1时，x2k2－y2k＋＋2能被x＋y整除．

由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．

利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．

3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．

证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．

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②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，

[(3k＋3)＋1]·7k1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝

＋7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k

＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k

＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，

由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为

18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．

＋则①②可知对所有正整数n命题成立．

4．用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除．

证明：(1)n＝1时，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命题成立．

(2)假设n＝k(k≥1)时，1－(3＋x)n能被x＋2整除，则可设1－(3＋x)k＝(x＋2)f(x)(f(x)为k－1次多项式)，

当n＝k＋1时，1－(3＋x)k1＝1－(3＋x)(3＋x)k

＋＝1－(3＋x)[1－(x＋2)f(x)]

＝1－(3＋x)＋(x＋2)(3＋x)f(x) ＝－(x＋2)＋(x＋2)(3＋x)f(x) ＝(x＋2)[－1＋(3＋x)f(x)]，

能被x＋2整除，即当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)可知，对n∈N＋，1－(3＋x)n能被x＋2整除.

[例3]

平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直1线把平面分割成(n2＋n＋2)个区域．

2[思路点拨]

用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分数与k＋1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到n＝k＋1时的证明．

1[证明]

(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，又×(12＋1＋2)＝2，

2∴n＝1时命题成立．

用数学归纳法证明几何问题

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1(2)假设n＝k时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2＋k＋2)个区域．那21么当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了(k2＋k＋2)个区域，第k＋1条直2线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k＋1个区域，11所以k＋1条直线把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．

22∴n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立．

用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n＝k到n＝k＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．

nn－35．求证：凸n边形对角线条数f(n)＝(n∈N＋，n≥3)．

2证明：(1)当n＝3时，即f(3)＝0时，三角形没有对角线，命题成立．

kk－3(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k)＝.将凸k边2形A1A2…Ak在其外面增加一个新顶点Ak＋1，得到凸k＋1边形A1A2…AkAk＋1，Ak＋1依次与A2，A3，…，Ak－1相连得到对角线k－2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k＋1边形的一条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数为：

kk－3k＋1k－2f(k)＋k－2＋1＝＋k－1＝

22＝k＋1[k＋1－3]＝f(k＋1)，

2即当n＝k＋1时，结论正确．

根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋，n≥3都成立．

6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)．

证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立．

(2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射第5页

线)．那么n＝k＋1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线) 直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)知，命题成立．

对应学生用书P41 1．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(

) A．k∈N

C．k≥1，k∈N＋

B．k>1，k∈N＋

D．k>2，k∈N＋

解析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1. 答案：C 2．某个命题：(1)当n＝1时，命题成立，

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立(

) A．正整数

C．正偶数

B．正奇数

D．都不是

解析：由题意知，k＝1时，k＋2＝3；k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．

答案：B 11113．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(

) 2nn＋1n＋2n＋31A.

2n＋111C.＋

2n＋12n＋2

B.1

2n＋211－

2n＋12n＋2

D.111解析：因为f(n)＝＋＋…＋，

2nn＋1n＋2第6页

11111所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，

2n2n＋12n＋2n＋2n＋3111所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝

2n＋12n＋2n＋111－. 2n＋12n＋2答案：D 14．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一4切正整数n都成立，a，b的值可以等于(

) A．a＝1，b＝3 C．a＝1，b＝2

B．a＝－1，b＝1

D．a＝2，b＝3 解析：令n＝1,2得到关于a，b的方程组，解得即可．

答案：D 5．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n个式子应为________．

－＋nn＋1答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n1·

26．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________．

解析：n＝1时，左端应为1×4＝4. 答案：4 7．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k＋1)＝f(k)＋π.

答案：π

8．设a∈N＋，n∈N＋，求证：an2＋(a＋1)2n＋＋1能被a2＋a＋1整除．

证明：(1)当n＝1时，

a3＋(a＋1)3＝[a＋(a＋1)][a2－a(a＋1)＋(a＋1)2]＝(2a＋1)(a2＋a＋1)．

结论成立．

(2)假设当n＝k时，结论成立，即ak2＋(a＋1)2k＋＋1能被a2＋a＋1整除，那么n＝k＋1时，有a(k＋1)＋2＋＋(a＋1)2(k＋1)＋1

＋＝a·ak2＋(a＋1)2(a＋1)2k1

＝a[ak2＋(a＋1)2k1]＋(a＋1)2(a＋1)2k1－a(a＋1)2k1

＋＋＋＋＝a[ak2＋(a＋1)2k1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k1. ＋＋＋第7页

因为ak2＋(a＋1)2k1，a2＋a＋1均能被a2＋a＋1整除，又a∈N＋，故a(k＋＋＋1)＋1＋1)＋2＋(a＋1)2(k能被a2＋a＋1整除，即当n＝k＋1时，结论也成立．

由(1)(2)可知，原结论成立．

9．有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．(n∈N＋) 证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．

(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立．

即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．

则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k

＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. ∴当n＝k＋1时，命题成立．

综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立．

10．用数学归纳法证明n∈N＋时，(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 2

证明：(1)当n＝1时，左边＝2cos x－1，

2cos 2x＋14cos2

x－1右边＝＝

2cos x＋12cos x＋1＝2cos x－1，

即左边＝右边，∴命题成立．

(2)假设当n＝k时，命题成立，

即(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 2则当n＝k＋1时，

左边＝(2cos x－1)(2cos 2x－1)…(2cos 21＋cos 2×2kx4×－124cos 2kx2－1＝＝

2cos x＋12cos x＋12×cos 2k1x＋1＝. 2cos x＋1＋n－12cos 2nx＋1x－1)＝. 2cos x＋1k－12cos 2k

x＋1x－1)＝. 2cos x＋1k－12cos 2kx＋1x－1)·(2cos 2x－1)＝·(2cos 2kx－1)2cos x＋1k第8页

∴n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)可知，对n∈N＋时命题成立．

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