1.3 二项式定理（通用）ppt配套的教案及板书设计

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学过程：

．一[知识提炼·梳理]

1．二项式定理

(1)公式(a＋b)＝

________________________________________ (n∈N)叫作二项式定理．

(2)(a＋b)的二项展开式共有(n＋1)项，其中各项的系数Cn(k＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数

2．二项展开式的通项

(a＋b)的二项展开式中的________叫作二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：_____________．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)(a＋b)的展开式中共有10项．(

) (2)Cnakn－kk10*nnknb是(a＋b)n展开式的第k项．(

) nn(3)(a＋b)与(a－b)的展开式的二项式系数相同．(

) 2．(x＋2)的展开式共有12项，则n等于(

) A．9

B．10

C．11

D．8 解析：因为(a＋b)的展开式共有n＋1项，而(x＋2)的展开式共有12项，所以n＝11. 答案：C 3．化简(x－1)＋4(x－1)＋6(x－1)＋4(x－1)＋1得(

) A．(x－1) B．x C．(x＋1) D．x

解析：原式＝[(x－1)＋1]＝x. 答案：B 4．(1－i)(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为________________．

解析：由通项公式得T7＝C10·(－i)＝－C10＝－210. 答案：－210 66610444445432nnn

5．(2015·广东卷)在(x－1)的展开式中，x的系数为________．

解析：由题可知Tr＋1＝C4(x)224r4－r4－r4－r(－1)＝(－1)C4x2，令＝1，解得r＝2，所2rrr以展开式中x的系数为C4(－1)＝6. 类型1 求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析) 3x－a[典例1] (1)(2015·湖南卷)已知的展开式中含x2的项的系数为30，则ax5＝(

) A.3

B．－3

C．6

D．－6 x2＋1(2)二项式的展开式中的常数项是(

) 2xA.C.3 4845 256rrr210B.D.7

4847

256解析：(1)Tr＋1＝C5(－1)ax，令r＝1，可得－5a＝30，得a＝－6. 归纳升华

(1)二项展开式的通项Tk＋1＝Cnakn－kkb表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项Tk＋1依赖于k，公式中的二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n. (2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．

x＋a8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________．

[变式训练] (1)若3x13(2)x－的展开式中x的系数是________．

x类型2 二项式定理的正用、逆用

1[典例2] (1)二项式3x－的展开式为_______．

49x(2)化简(x－2)＋5(x－2)＋10(x－2)＋10(x－2)＋5(x－2)＝________．

113x－10413223－－解析：(1)＝C4(3x)＋C4(3x)＋C4(3x)＋C4(3 425432xxx

1121－142－x)＋C4＝81x－108x＋54－＋2. 34xxxx(2)原式＝C5(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)－1＝[(x－2)＋1]－1＝(x－1)－1. 答案：(1)81x－108x＋54－归纳升华

(1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准、记熟二项式(a＋b)的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提．

(2)逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)的形式．

[变式训练] (1)二项式(x＋2y)的展开式为______；

(2)化简：Cn(x＋1)－Cn(x＋1)的结果是________．

解析：(1)(x＋2y)＝C4x＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4(2y)＝x＋8xy＋24xy＋32xy＋16y. (2)原式＝Cn(x＋1)＋Cn(x＋1)nnn034404132223344432204255051423324501215＋2

(2)(x－1)－1 xxnnn1n－1＋Cn(x＋1)2n－2－…＋(－1)Cn(x＋1)kkn－k＋…＋(－1)Cnnnn1n－1(－1)＋Cn(x＋1)n2n－2·(－1)＋…＋Cn(x＋1)2kn－k(－1)k＋…＋Cn(－1)＝[(x＋1)＋(－1)]＝x. 答案：(1)x＋8xy＋24xy＋32xy＋16y

(2)x

类型3 混淆二项式系数与项的系数致误(误区警示) 1n2[典例3] 设(x－2)展开式中，第二项与第四项的系数之比为，则含x的项是2________．

易错提示：若将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈，则会出现错解．

防范措施：二项式(a＋bx)的展开式的二项式系数是Cn(r∈N，r≤n)，它们是一组仅与二项式的幂的指数n有关的(n＋1)个组合数，而与a，b无关，即展开式的第(r＋1)项的二项式系数Cn与第(r＋1)项的系数是不同的概念．明白了这一区别则不会出现错误．

[规范解答] (x－2)展开式的第二项与第四项分别为T2＝Cnx1432234nnr*rn1n－1(－2)＝－2Cnx1n－，T4＝Cnx3n－3(－2)＝－22Cnx－2Cn133n－3. 12依题意得＝，即n－3n－4＝0，解得n＝4(舍去n＝－1)．

3－22Cn2设(x－2)展开式中含x的项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝Cnx42r4－r(－2). r

由4－r＝2，得r＝2. 故(x－2)展开式中含x的项为T3＝C4x(－2)＝12x. 答案：12x

242222221[类题尝试] 二项式2x＋的展开式中第3项的二项式系数是____________，第4x项的系数是________．

解：二项式的通项公式为Tr＋1＝C5(2x)2235r25－r1＝25－rCrx10－3r，故第3项的二项式系数为x5rC5＝10，第4项的系数为2C5＝4×10＝40. 答案：10 40 课堂小结

1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．

2．要牢记Cnakn－kkb是展开式的第(k＋1)项，不要误认为是第k项．

3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值