2.2.3 两条直线的位置关系优质课教案

第八章

第一节

一、选择题

31．(2014·龙岩月考)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为(

) 4A．3x＋4y－14＝0

C．4x＋3y－14＝0 [答案]

A 3[解析]

由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0. 43π2．(文)(2014·宁都模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(

) 4A．－1 C．0 [答案]

B 2y＋1－－32y＋4[解析]

由＝＝y＋2，

24－23π得：y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3. 4(理)(2014·天津模拟)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是(

) πA．(0，) 2ππC．[－，] 44[答案]

D [解析]

直线x·sinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，

又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，

π当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，]；

43π当－1≤k<0时，倾斜角的范围是[，π)．

43．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(

) A．平行

C．垂直

[答案]

C

- 1 -

B．3x－4y＋14＝0 D．4x－3y＋14＝0 B．－3 D．2 B．(0，π) π3πD．[0，]∪[，π) 44B．重合

D．相交但不垂直

sinAb[解析]

由已知得a≠0，sinB≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正asinBsinAb弦定理得：k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直，故选C. asinB4．(2014·浙江六校联考)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(

) 1A．k＝，b＝4 21C．k＝，b＝－4 2[答案]

C [解析]

直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以圆心(2,0)在直线2x＋y＋b＝0上，即2×2＋b＝0，∴b＝－4.又直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂1直，∴k·(－2)＝－1，即k＝. 2xyxy5．(文)两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(

) abba1B．k＝－，b＝4 21D．k＝－，b＝－4 2

[答案]

A [解析]

直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数，直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数，故选A. [点评]

可用斜率关系判断，也可取特值检验．

(理)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是(

) A．(－C．[－33，) 3333，] 33B．(－33，0)∪(0，) 3333)∪(，＋∞) 33D．(－∞，－[答案]

B [解析]

- 2 -

曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C2：y＝0或者y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(－1,0)的两条直线．

作图分析：k1＝tan30°＝33，k2＝－tan30°＝－，

333，0)∪(0，3又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m＝k∈(－3)．

36．(文)已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，32则＋的最小值为(

) abA．12 C．1 [答案]

D [解析]

∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，

∴3a＋2b＝1，

∵a、b>0，

3232∴＋＝(＋)(3a＋2b) abab6b6a＝13＋＋≥13＋2ab＝25. 6b6aa＝b1等号成立时，，∴a＝b＝，

53a＋2b＝132故＋的最小值为25. ab(理)(2013·厦门双十中学期中)已知直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝(

) 7A．－

37B．

36b6a·

ab13B．

6D．25

- 3 -

5C.

7[答案]

D D．1 1[解析]

由条件知tanα＝2，－3tanβ＝1，∴tanβ＝－，

312＋－3tanα＋tanβ∴tan(α＋β)＝＝＝1，故选D. 11－tanα·tanβ1－2×－3二、填空题

7．(2014·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

[答案]

4 [解析]

∵A，B，C三点共线，

∴a－35－3＝，

5－46－4∴a＝4. 158．(文)(2014·山东青岛一模)曲线y＝x3－2以点(1，－)为切点的切线的倾斜角为33________．

[答案]

45°

[解析]

y′＝x2，k＝y′|x＝1＝1，切线的倾斜角为45°. (理)(2014·江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．

[答案]

3x＋y－3－1＝0 [解析]

直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，∴H(1,0)．直线HB的方程为y1＋3－1＋3y－1x－1＝x－1，代入半圆方程得B(，)．所以，直线AB的方程为＝，22－1＋31＋3－1－122即3x＋y－3－1＝0. 9．(2013·佛山市检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．

1[答案]

2x[解析]

直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，2由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b)b

- 4 -

1111＝－2b2＋2b＝－2(b－)2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 2222三、解答题

10．(文)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使

(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；

(2)l1∥l2；

(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 2m－8＋n＝0，[解析]

(1)由题意得

2m－m－1＝0，

n＝7，解得

m＝1，

∴当m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(1，－1)．

m8n(2)l1∥l2⇔＝≠，

2m－1得：m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2. (3)l1⊥l2⇔m×2＋8×m＝0，

∴m＝0，则l1：8y＋n＝0. 又l1在y轴上的截距为－1，则n＝8. 综上知m＝0，n＝8. [点评]

讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可避免对斜率存在是否的讨论．

(理)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．

[解析]

当k不存在时B(3,0)，C(3,6)．

此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，

∴直线l的斜率存在，

∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)，

1令y＝0得B(3＋，0)，

k

- 5 -

y＝2x1＋3k由得C点横坐标xc＝. k－2y＋1＝kx－3

若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|，

1＋3k11∴|－－3|＝2||，

kk－2k∴1＋3k121＋3k12－－3＝或－－3＝－，

kk－2kkk－2k31解得k＝－或k＝. 24∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.

一、选择题

11．(文)(2014·福建文)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(

) A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 [答案]

D [解析]

圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x－y＋3＝0. (理)(2014·开封摸底)直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2垂直的充要条件是(

) A．m＝2 C．m＝0 [答案]

C [解析]

由题意得，2m＋2m＝0，得m＝0.故选C. 12．(文)(2013·广东)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(

) A．x＋y－2＝0 C．x＋y－1＝0 [答案]

A [解析]

设直线方程为x＋y＋m＝0，直线与圆相切，则线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，

所以选A. (理)若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是(

) 1A.

2|m|＝1，m＝－2或m＝2(由直2B．x＋y＋1＝0 D．x＋y＋2＝0 B．m＝－2 D．m∈R

B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0

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1C．－≤m<1 2[答案]

D 1D．≤m≤1 2[解析]

若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则2m－1≤0，12斜率和截距均小于等于0.直线变形为y＝(m－1)x－2m＋1，则⇒≤m≤1，2－2m＋1≤0，

故选D. －2m＋1<0，2m－1[点评]

(1)令x＝0得y＝－2m＋1，令y＝0得，x＝2，则2m－1m－1<0，2m－1－2m＋1＝0，2也可获解．

m－1≤0，

或

(2)取特值m＝0,1，检验亦可获解．

13．(2013·河南安阳一模)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为(

) A．3x－y－20＝0 C．3x－y－9＝0 [答案]

A 5[解析]

设AC的中点为O，则O(，－2)．

2设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，

x0＝5－x，即D(x0，y0)，则

y0＝－4－y，B．3x－y－10＝0 D．3x－y－12＝0

由3x0－y0＋1＝0得3x－y－20＝0. 114．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋＝0相交于一点，则k的值为(

) 2A．－2

C．2

[答案]

B x－y－1＝0[解析]

由得交点P(－1，－2)，

2x＋3y＋8＝01B．－

21D.

2

11P在直线x＋ky＋k＋＝0上，∴k＝－. 22二、填空题

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15．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2的距离为________．

55[答案]

或

210[解析]

由(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，且－2×1－(4－k)×3≠0，∴k＝3或5. 5当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，此时l1与l2距离为：；

2当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2的距离为1116．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋＝________. ab1[答案]

2xy[解析]

设直线方程为＋＝1，因为A(2,2)在直线上，

ab22111所以＋＝1，即＋＝. abab2三、解答题

17．(文)(2013·江苏扬州一模)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过1点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，2求直线AB的方程．

5＝. 22104＋－2|3－2|

[解析]

由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－lOB：y＝－3x. 33，所以直线lOA：y＝x，3设A(m，m)，B(－3n，n)，

m－3nm＋n所以AB的中点C(，)，

221由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得，

2m＋n1m－3n2＝2·2，m－0n－0m－1＝－3n－1，

m＝3，解得所以A(3，3)．

n＝3－23，

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又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝3＋33＝，

23－13＋3所以lAB：y＝(x－1)，

2即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0. (理)(2013·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，a)，N2(0，b)，且ab＝3. (1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

(2)已知点F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

a[解析]

(1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，①

2b直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②

2设R(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得

aby2＝－(x2－4)．

4x2y2将ab＝3代入整理得＋＝1. 43∵点N1、N2不与原点重合，

∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，

x2y2∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．

43(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，

y＝kx＋m，22联立方程xy消去y得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)、Q(x2，4＋3＝1.y2)，则

－8kmx＋x＝，3＋4k4m－12xx＝3＋4k，1222122

kx1＋mkx2＋m(*)且kF2P＝，kF2Q＝. x1－1x2－1由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，

∴kx1＋mkx2＋m＋＝0，

x1－1x2－1化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，

4m2－128mkm－k将(*)式代入，得2k×－－2m＝0，

3＋4k23＋4k2

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整理得m＝－4k. ∴直线l的方程为y＝k(x－4)，

∴直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．

x2y2218．(2015·广东揭阳一中期中)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为ab2F(1,0)．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

c2[解析]

(1)由题意知c＝1，＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，

a2x22∴椭圆E的标准方程为＋y＝1. 2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x＝1，不符合题意．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y＝k(x－1)．

x2＋y2＝1，由消去y得，[1＋2k2]x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，

y＝kx－1.2k2－14k2∴x1＋x2＝，x·x＝. 1＋2k2121＋2k2－k2∴y1·y2＝k(x1－1)(x2－1)＝k[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝. 1＋2k2222

→→∵OM⊥ON，∴OM·ON＝0，

k2－2∴x1·x2＋y1·y2＝＝0，∴k＝±2. 1＋2k2∴直线l的方程为：y＝±2(x－1)．

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