一 比较法PPT专用教学设计内容

选修4-5 不等式选讲

不等式的证明方法（比较法）

汕头市潮阳一中明光学校

林达庭

三维目标：

1.知识与技能：理解，掌握比较法证明不等式

2.过程与方法：培养渗透转化，分类讨论等数学思想，提高分析解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：锻炼学生胡思维品质

重点难点：能够利用作差和作商方法证明不等式

教学设计：

一、引入：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

二、范例分析：

例1、设ab，求证：a23b22b(ab)。

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x23x41x2x42x2x22x3

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

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13

=2(x1)2[(x)2].

2413x1,从而(x1)20,且(x)20,

2413∴

2(x1)2[(x)2]0,

24∴

3(1x2x4)(1xx2)2.

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知a,bR,求证aabbabba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0ababab(aabbabbabbab)0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t2S(mn)，

2mn2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2，

mn2mn2(mn)mn2(mn)mnt1tSS2St2，可得t1m1nS，，2m2nmn22其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

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从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设f(x)2x21,pq0,pq1.求证；对任意实数a,b，恒有

pf(a)qf(b)f(paqb).

（1）

证明

考虑（1）式两边的差。

pf(a)qf(b)f(paqb).

＝p(2a21)q(2b21)[2(paqb)21]

＝2p(1p)a22q(1q)b24pqabpq1.

（2）

pq1,pq0,

(2)2pqa22pqb24pqab

2pq(ab)20.

即（1）成立。

三、练习：

四、小结：

比较法是证明不等式胡一种最基本，最重要胡方法，用比较法证明不等式胡步骤：作差（或作商），变形，判断符号。“变形”是解题胡关键，是最重要一步，因式分解，配方，凑成若干个平方和等是变形胡常用方法。

五、作业：

选修4-5 不等式选讲

1．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

解：

a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) 2b2b22

= - (a-b)3a30

(当且仅当d＝b时取等号) 3 ∴a4-b44a3(a-b)。

2．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

3．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．

x1与x1的大小．

5．已知a≠0，比较a2a1a2a1与a4．如果x>0，比较22222

a1a2a1的大小．6．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．

说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。