数学活动教学实录与评析

新人教版

第二十六章：

反比例函数复习课

反比例函数图象中定量问题

余自亮

教学目标：

1．进一步熟练掌握反比例函数的图象及性质

2．理解并掌握反比例函数定义以及其蕴含的几何定量特性

3．培养学生数形结全的解析几何思维方法，及从特殊到一般的几何研究方式

重难点：反比例函数的几何定量关系，从特殊到一般的几何研究方式

一、创设情境

1．函数ykx(k0)=k·x

－1或x·y=k的图象及性质. （1）反比例函数的图象是双曲线. （2）当k＞0时，图象在一、三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小；

当k＜0时，图象在二、四象限，且在每一象限内，y随x增大而增大. （3）双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是原点，对称轴是直线y=±x. （4）| k |越大，双曲线越远离原点，若k1+k2=0时，两双曲线关于x轴对称，也关于y轴对称. 2．反比例函数y则Skx(k0)上一动点P (a，b)，

|k|2矩OMPN|k|，SOPM. 二、探究

（一）k的几何意义及应用

例1：如图，在y1x的图象上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两垂线与x轴、y轴围成矩形面积分别为SA、SB、SC，则正确的是（

）

A．SA＞SB＞SC

B．SA＜SB＜SC

C．SA＜SC＜SB

D．SA=SB=SC

解析：由反比例函数k的几何意义可知，

SA=1，SB=1，SC=1，∴SA=SB=SC

，选D. 例2：如图，如果过原点直线与y4x的图象交于A、B两点，

过点A作AC⊥y轴于C，当点A在双曲线上运动时，△BOC的

面积是否变化？不变，请求值. 解析：∵双曲线关于原点对称，∴SBOCSAOC.

1

又由k的几何意义得SBOCSAOC1242为定值. 例3：如图，点P是双曲线y双曲线y6x2x(x＞0)上一动点，PQ∥x轴交(x＞0)于Q，分别过点P、Q作PM⊥x轴，QN⊥x轴，则点P运动时矩形PMNQ的面积为

4

.

例4：如图，已知双曲线y2x上两点A、B，且xA=1，xB=2，求△AOB的面积. 解析：求得A (1，2)，B (2，1).

分别过A、B作AD⊥x轴，BC⊥x轴，

证：S

练习1：如图，两反比例函数y8xAOBS梯形ABCD32.

和y4x在第一象限内图象依次为C1和C2，设动点P在C1上，PC⊥x轴于C，交C2于A，PD⊥y轴于D，交C2于B，则四边形PAOB的面积是

4

.

归纳：

（1）

（2）

SABCSABD|k|

S矩形PMQN|k2k1|

（3）

SAOBS梯ABCD

（二）双曲线的几何特性

2

（1）双曲线ykx(k0)上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，则3x|x1||x2||y2||y1|. 练习2：如图，反比例函数y(x0)图象经过矩形ABCO的边AB的中点，交BC边92于F，连EF、OE、OF，则△OEF的面积是. 解析：过F作FM⊥x轴于F. 设E

(2a，b)，则yF=2b. 又∵∴S

（2）例5：如图，P为双曲线ykx(k0)xExFyFyE，∴xF=a，∴F

12(b2b)(a)32(a，2b)，ab92OEFS梯形AEFM. 上一动点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N，直线y=x+b或y=－x+b与直线PM、PN分别交于点C、D，则AD·BC的值由反比例系数k确定，且AD·BC=

2| k |

. 解析：设P

(m，n)，过点C作CC′⊥y轴，过D作DD′⊥x轴，则AD2DD'2|n|，BC2CC'2|m|，∴AD·BC=2 | mn |=2| k |. 延伸：直线AB可以为任意直线，则AD·BC=（3）例6：如图，直线AB交双曲线ykx2|k|sin2. （设直线AB与x轴夹角为α）

于C、D，则

AC=BD

. kxmxn解析：设直线AB为y=mx+n，且C (x1，y1)，D (x2，y2)，则两根为x1，x2，∴xAMnmx1x2x2nm，∴mx2nxk0

1，再过点C作CM⊥x轴，过点D作DN⊥y轴，∴，∴AM=DN，则△ACM≌△DNB，∴AC=BD或（如图(2)AC=BD仍然成立）.

(1)

3 (2)

（4）例7：如图，点P为双曲线yk1x上一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，PA、PB分别交k2xy轴和x轴于C、D，点A、B都在双曲线y上，连AB交x轴，y轴于M、N，连CD则

CD∥AB且AM=BN

. 解析：设A (x1，y1)，B (x2，y2)，则x1·y1=x2·y2.

又∵PC=x2，PD=y1，AC=－x1，BD=－y2，

∴PCACx2x1PDBDy1y2，∴CD∥AB，

∴□AMDC和□BDCN，∴AM

∥CD

∥BN.

（三）双曲线的几何定义特性

例8：如图，点P是反比例函数y2x(x0)上一动点，F (2，2)，直线l解析式为y=－x+b，PFPM连PF并过点P作PM⊥l于点M，问是否存在一实数b，使个定值，若不存在，请说明理由. 解析：存在b=2，且PFPM2为定值，若存在，求这.

设P (x，y)，则xy=2，由勾股定理得

PF2x2y24x4y8，

2PM212(x2y22bx2by4b)2.

2∴当b=2时，PFPM22为定值，则PFPM为定值. 注：本题设计原理：利用高中知识，双曲线是到定点距离与到定直线的距离之比为定值的所有点的集合。

三、小结与作业：

4