位似图形概念教学内容

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活动1

知识准备

1．下列图形中，是相似图形的是__①②④__，是相似多边形的是__②④__．

图27－3－21 2．如图27－3－22，若△ABC∽△ADE，则∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠E，BC＝____．

DEABAC＝____ADAE

图27－3－22 活动2

教材导学

位似图形的概念

如图27－3－23是三组相似的三角形，过每组相似三角形的对应顶点画直线，每组中的三条直线交于__一点__，像这样的两个图形叫做位似图形．

图27－3－23

►

知识点

位似图形

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于__一点__，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做__位似中心__．

探究问题一

位似图形的判别

例1

判断如图27－3－24所示的每组中的两个图形是不是位似图形，如果是，分别指出各个位似图形的位似中心；如果不是，请说明理由．

图27－3－24 [解析] 先判断两个图形是否相似，若相似，再寻找两图形的对应顶点，然后经过对应顶点作直线，如果这些直线都经过同一点，那么这两个图形是位似图形．

解：①②③④都是位似图形，如图所示，位似中心分别是点A，B，P，O.

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⑤不是位似图形，因为图⑤中的两个图形对应顶点的连线不经过同一点，对应边也不平行或共线．

[归纳总结] “位似”是一种特殊的“相似”，即两个图形除在形状上相同外，在位置关系上还符合以下条件：(1)对应顶点的连线都经过同一点；(2)对应边互相平行或共线．

判别两个图形位似的关键是寻找位似中心，位似中心可以在两个图形的同侧、两个图形之间或两个图形内，还可以在其中一个图形的边或顶点上．

探究问题二

位似图形的作图

例2

如图27－3－25，以点P为位似中心，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.

图27－3－25 [解析]

作位似图形时，在原图形上取几个关键点，然后按教材上的作法作出位似图形．

解：如图，在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，所得到的图形就是符合要求的图形．

图27－3－26 [归纳总结] 利用位似，可以将一个图形放大或缩小，主要方法有两种：

方法一：在图形外取一点作为位似中心，按要求将图形放大或缩小．

方法二：在图形内取一点作为位似中心，按要求将图形放大或缩小．

利用位似作图形的基本过程：(1)确定位似中心；(2)连接图形各顶点与位似中心；(3)在连接图形各顶点与位似中心的线段或其延长线(或反向延长线)上按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形．

一、选择题

1．[2014·东营]

下列关于位似图形的表述：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；

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④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．

其中正确命题的序号是(

) A．②③

B．①②

C．③④

D．②③④

[解析] A

①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误．

②位似图形一定有位似中心，此选项正确．

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，此选项正确．

④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故此选项错误．

正确的为②③.故选A.

2．图27－3－27中是位似图形的是(

)

图27－3－27 [解析]

D

根据位似图形的定义判定：①两个图形是相似图形；②对应顶点的连线相交于一点．

[点评] 判定位似图形时，一定要从定义的两个要素逐一排查．

3．如图27－3－28，BC∥ED，下列说法不正确的是(

) A．两个三角形是位似图形

B．点A是两个三角形的位似中心

C．B与D，C与E是对应点

D．AE∶AD是相似比

[答案] D

图27－3－28

图27－3－29 4．如图27－3－29，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(

) A．2DE＝3MN

B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F

D．2∠A＝3∠F

[解析] B

根据位似变换的性质可得DEAB2＝＝，∴3DE＝2MN.

MNFG35．如图27－3－30所示，△ABC和△DFE是位似图形，相似比为2∶3，若AB＝4，则DF的长为(

) 8A．9

B．6

C．5

D.

3[解析] B

由图可得，△ABC∽△DFE，因为位似比为2∶3，所以AB∶DF＝2∶3，而AB＝4，所以DF＝6.故选B.

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图27－3－30

图27－3－31 6. 如图27－3－31，四边形木框ABCD在灯泡发出的光的照射下形成的影子是四边形A′B′C′D′.若AB∶A′B′＝1∶2，则四边形ABCD的面积∶四边形A′B′C′D′的面积为(

) A．4∶1

B.2∶1

C．1∶2

D．1∶4 [解析]

D

∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，

∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，

1∴四边形ABCD的面积∶四边形A′B′C′D′的面积＝2＝1∶4.故选D.

[点评] 位似图形满足相似图形的性质．

二、填空题

7．如图27－3－32所示，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图像的高度为________cm. [答案] 18 2

图27－3－32

图27－3－33 8．如图27－3－33所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝________. [答案] 18

24[解析] 因为OA＝2AA′，所以OA∶OA′＝2∶3，则＝＝.又因为S△ABC＝8，S△A′B′C′3984所以＝，所以S△A′B′C′＝18. S△A′B′C′9三、解答题

9．如图27－3－34，用直尺画出下面位似图形的位似中心．

S△ABC2

图27－3－34 解：如图27－3－35所示：

图27－3－35 10．如图27－3－36所示，在正方形网格中有一条简笔画的“鱼”，请你以点O为位似

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中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比为2∶1.(不要求写作法)

图27－3－36 解：如图27－3－36所示：

图27－3－37 11．如图27－3－38，已知△ABC和点O，以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，1使它与△ABC的相似比为. 2

图27－3－38

图27－3－39 解：情况1：如图27－3－39所示，分别连接OA，OB，OC，分别取线段OA，OB，OC的中点A′，B′，C′，顺次连接点A′，B′，C′，则△A′B′C′为所要求作的图形．

情况2：如图所示，分别连接AO，BO，CO，在线段AO，BO，CO的延长线上分别截111取线段OA1，OB1，OC1，使OA1＝OA，OB1＝OB，OC1＝OC，顺次连接点A1，B1，C1，222则△A1B1C1为所要求作的图形．

12．一般在室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm，放映的银幕的规格为2 m×2 m，当放映机的光源距胶片20 cm时，银幕应在离光源多远的地方，放映的图像刚好布满整个银幕？

200400解：如图，相似比k＝＝.

3.57

图27－3－40 设银幕距光源x cm，由位似图形的性质可得，

x400＝，

2078000800080∴x＝.

cm＝

m. 777

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80答：当银幕离光源

m时，放映的图像刚好布满整个银幕．

713．如图27－3－41，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，点A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．

图27－3－41 解：∵矩形ABCD的周长为24，

∴AB＋AD＝12，设AB＝x，

则AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x.

∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，

∴即ABAD＝，

AB′AD′12－xx＝，解得x＝8，∴AB＝8，AD＝12－8＝4. x＋414－x14．如图27－3－42，为了测量有障碍物相隔的A，B两点间的距离，在适当处放置一水平桌面，铺上白纸，在点A，B处立上标杆，在纸上立大头针于点O，通过观测在纸上确定点C，已知点O，C，A在同一条直线上，并且OA的长等于OC的100倍，接下去怎样做，就能测得A，B两点间的距离？

图27－3－42

图27－3－43 解：如图27－3－43，在纸上确定点D，使点O，D，B在同一条直线上，并且使OB＝100OD，然后量出CD的长，则100CD的长即为A，B两点间的距离．

如图27－3－44所示，正三角形ABC的边长为3＋3. (1)如图27－3－44，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长．

图27－3－44

图27－3－45 解：(1)如图27－3－45所示，正方形E′F′P′N′即为所求．

(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x.

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∵△ABC为正三角形，

∴AE′＝BF′＝3x.

3∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，

∴x＋33x＋x＝3＋3，

339＋3 3∴x＝＝3 3－3.

2 3＋3即作出的正方形E′F′P′N′的边长为3 3－3. 7