测试优秀教案设计

对相似中“一线三等角模型”的探究

1教学目标

1.本节课是在学习了简单的相似模型之后进入了一线三等角模型的学习，从特殊到一般的思路更容易让学生接受，通过对相似的判定的综合运用达到对模型的熟练掌握。

2.运用一般到特殊的思维，让学生更快的进入状态，体验小组合作的魅力，同时激发学生的迁移能力，加快对数学核心素养的培养。

3.小组合作与自由讨论的展开激发了学生对较难知识点的学习兴趣，不至于使课堂变得枯燥，也增进了学生的凝聚力。

2课程回顾

教师带领学生回顾课程开始所需要复习的几个模型：A型、8型、母抱子模型。进而快速的让学生进入对模型的讨论。

3课堂激活

1、如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：

△ABE 与△ECF 有什么关系？并证明你的结论。

A

A

D

F

B

E

C

B

E

F

C

“激活”解读：本题的设计是本课从特殊开始的源头。是在学生学习了相似等其他模型的观察方法以后，选配这样一道激活学生思维的题目。题目立意很明显，以“一线三等角”为背景，激活学生思维，实质上就是将上面左图转换为右图，从而达到将思路引向“模型”建立上来。让学生通过独立思考，解答这个问题。

4课堂生成

变式1：点E为BC上任意一点,若

∠B=∠C=∠AEF= 60°,则△ABE与△

ECF的关系还成立吗？说明理由

证：∵∠ABC=∠FEA=60°

∴∠A+∠AEB=∠FEC+∠AEB=120°

∴∠AEB=∠FEC 又∵∠ABC=∠FCE=60°

∴△ABE∽△ECF 变式2：点E为BC上任意一点,若

∠B=∠C=∠AEF= 120°,则△ABE与△

ECF的关系还成立吗？说明理由

证：∵∠ABC=∠FEA=120°

∴∠A+∠AEB=∠FEC+∠AEB=60°

∴∠AEB=∠FEC 又∵∠ABC=∠FCE=120°

∴△ABE∽△ECF 变式3：点E为BC上任意一点,若

∠B=∠C=∠AEF= α,则△ABE与△ECF的关系还成立吗？说明理由

证：∵∠ABC=∠FEA=α

∴∠A+∠AEB=∠FEC+∠AEB=180°-α

∴∠AEB=∠FEC 又∵∠ABC=∠FCE=α

∴△ABE∽△ECF “生成”解读：课程到此就进入了对“一线三等角模型”的探究了。上述三个变式题都是从“激活”阶段的特殊角90度而来的。在变式1、2两个题中还是以60度，120度这两个特殊角为背景，分别代表锐角和钝角的两种形式。逐渐的让学生熟悉“一线三等角模型”的形式和证明结构。教师到此就可以提出思考，也就是变式3，“是否对任意的一个角度α也有上述的结论成立？”引导学生相互讨论并证明。紧接着，由老师提出思考：“刚刚研究的这些三角形有什么共同特征？你能用自己的话来总结出一个模型吗？”学生通过对变式题的从“特殊到一般”的总结，并自我归纳以后，由师生双方同时得到：

一线：三点共线

三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角

两相似：能够得到△ABE∽△ECF 巧记为：一线三等角两相似

这样，我们就通过一类题目的变式，逐步的形成了这样的一个模型，并由学生自主并自然地得到相关特征和结论。

5课堂启智

在“激活”、“生成”两个阶段结束后，教师需要带领学生来检验和应用刚刚得到的模型在实际题目当中的应用。也就是进入了学生的“启智”阶段。本阶段的特点是：学生不依靠教师的提点通过应用“模型”自主独立完成题目，在完成题目之后，订正答案，并加以修改，从而巩固刚刚所的模型，进一步熟悉模型。

练习1：矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则CF=______（矩形背景）

A

D

A

E

F

F

C

C

E

B

B

练习2：D为BC上一点，

∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,则AF=____（三角形背景）

提示：1、你从中能够找到“一线三等角”模型吗？

2、你能自己描述满足的条件和得到的结论吗？

3、你能够利用相似得到结果吗？

“启智”解读：课堂到此已经渐入佳境，“启智”的根本目的就是引导学生通过自己所得到的“模型条件”和“模型结论”来解决自己所遇到的问题。本阶段的难点在于小部分学生无法将模型迁移。所以，给出了三个提示，降低“学困生”的难度，从而提升学生的信心。

6课堂生慧

在前三个阶段完成以后，课堂进入到最后的“生慧”阶段。所谓“生慧”就是让学生在熟悉模型的前提下，增加或者减少模型的条件，通过学生的在探究得到一个新的模型，从而进入新的“特殊---一般---特殊”。

如图所示：△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

升华思考：这个“一线三等角”模型与之前的有何不同？你有什么新的发现吗？

（1）与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

证明：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，

又∵∠MDN=∠B，∴△ADE∽△ABD，同理可得：△ADE∽△ACD，

∵∠MDN=∠C=∠B，∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，∠B=∠MDN，∴∠BAD=∠EDC，

∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∴△ADE∽△DCE （2）△BDF∽△CED∽△DEF，

证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°；∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，∴△BDF∽△CED，

∴BDECCDEC∵BD=CD，∴．又∵∠C=∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF．

DFDEDFDE