1.3 实习作业教案教学设计导入设计

正弦定理、余弦定理及其应用

知识网络

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C(1)a＝2Rsin A，

b＝2Rsin B，

c＝2Rsin C；

变形

abc(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；

2R2R2R(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(4)asin B＝bsin A，

bsin C＝csin B，

asin C＝csin A

2.三角形常用面积公式

1(1)S＝a·h(h表示边a上的高)；

2aa111(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

2221(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

23.知识拓展

1．三角形内角和定理：

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

A＋BπC变形：＝－. 2222．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sin A＋BA＋BCC＝cos ；(4)cos ＝sin . 2222b2＋c2－a2cos A＝；

2bcc2＋a2－b2cos B＝；

2aca2＋b2－c2cos C＝

2ab余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A；

内容

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；

c＝bcos A＋acos B.

课堂练习

1．(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝

. 答案

2π

3解析

因为3sin A＝5sin B，

所以由正弦定理可得3a＝5b. 37因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a. 55令a＝5，b＝3，c＝7，

则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，

得49＝25＋9－2×3×5cos C，

12π解得cos C＝－，所以C＝. 2312．(2016·济南模拟)在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为

．

3答案

43 1解析

∵cos C＝，0

322∴sin C＝，

31∴S△ABC＝absin C

2122＝×32×23×＝43. 23A3．在△ABC中，若sin B·sin C＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是(

) 2A．等边三角形

C．等腰三角形

答案

D 1＋cos A解析

sin B·sin C＝，

2∴2sin B·sin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，

∴cos(B－C)＝1，

∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，

又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，

B．直角三角形

D．等腰直角三角形

综上，△ABC为等腰直角三角形

例题讲解

1例1

(1)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝，2πC＝，则b＝

. 6答案

1 1π5π解析

因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝. 266ππ2π又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝. 663ab3b又a＝3，由正弦定理得＝，即＝，

sin Asin B2π1sin 32解得b＝1. 例2

(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；

a2(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

4(1)证明

由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，

于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，

因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. a21a2(2)解

由S＝，得absin C＝，

42411故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，

22由sin B≠0，得sin C＝cos B. π又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 2ππ当B＋C＝时，A＝；

22ππ当C－B＝时，A＝. 24ππ综上，A＝或A＝. 24跟踪练习

(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2Ab＝2a，则等于(

) a

A．23

C.3

B．22 D.2 (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，则b等于(

) A．6

C．2

答案

(1)D

(2)C 解析

(1)(边化角) 由asin Asin B＋bcos2A＝2a及正弦定理，得

sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，

bsin B即sin B＝2sin A，所以＝＝2.故选D. asin A(2)(角化边) 由题意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，

即sin Acos C＝3cos Asin C，

由正弦、余弦定理，得

a2＋b2－c2b2＋c2－a2a·＝3c·，

2ab2bc整理得2(a2－c2)＝b2，①

又a2－c2＝b，②

联立①②得b＝2，故选C. π（）3）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则3△ABC的面积是(

) A．3

33C.

2答案

C 解析

∵c2＝(a－b)2＋6，

∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

π∵C＝，

3π∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②

3由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 93B.

2D．33 B．4 D．1

11333∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 2222

课堂小结：应用正弦、余弦定理的解题技巧

bsin Aasin Basin C(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．

sin Bsin Asin A(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝其他相应变形公式求解．

(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．

(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．

111

(5)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公222式．

(6)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转

asin Bbsin Acsin A，sin B＝，sin C＝或baa

布置作业