3.三个正数的算术-几何平均不等式课堂实录及点评

课 题：

三个正数算数--几何平均不等式

目的要求：掌握三个正数算数--几何平均不等式，会应用它解决最值或证明问题。

重点难点：三个正数算数--几何平均不等式及应用

教学过程：

一、引入：

22

1、定理1：如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab

2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR

强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么abab（当且仅当ab时取“=”）

2

证明：∵(a)2(b)22ab

∴ab2ab

即：ababab

当且仅当ab时

ab

22

注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3333、定理3：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab]

(abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]

2333∵a,b,cR

∴上式≥0

从而abc3abc

指出：这里a,b,cR

∵abc0就不能保证。



推论：如果a,b,cR，那么abc3abc。（当且仅当abc时取“=”）

3

证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc

34、算术—几何平均不等式：

①．如果a1,a2,,anR,n1且nN

则：a1a2an叫做这n个正数n的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数；

②．基本不等式：

a1a2ann≥a1a2an（nN*,aiR,1in）

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

abab的几何解释：

2以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB

则③．CD2CACBab，

从而CDab，而半径abCDab。

2D

二、典型例题：

2AaOCbB例1、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca。

证：∵ab2ab

bc2bc

ca2ca

以上三式相加：2(abc)2ab2bc2ca

∴abcabbcca

例2、设a,b,c为正数，求证：(abab1)(abacbcc)16abc。

222222222222222

例3、设a1，a2，a3，…，an为正数，证明：a1a2ann。

111na1a2an

例4、若x,yR，设Q(x,y)xyx2y2

A(x,y)

G(x,y)xy

22H(x,y)21xy

求证：Q(x,y)A(x,y)G(x,y)H(x,y)

加权平均；算术平均；几何平均；调和平均

xy2x2y22xyx2y2x2y2x2y)证：∵(

2442x2y2xy∴即：Q(x,y)A(x,y)（俗称幂平均不等式）

22由平均不等式A(x,y)G(x,y)

H(x,y)2xy2xyxyG(x,y)即：G(x,y)H(x,y)

xy2xy综上所述：Q(x,y)A(x,y)G(x,y)H(x,y)

三、小结：

四、练习：

五、作业：

1、若ab1,a,bR

求证(a12125)(b)2

ab211(ab)211ab

证：由幂平均不等式：(a)2(b)2ab2abab2ba(1)(3)2(32)225abab



2222