复习参考题PPT配套优秀教学设计内容

证明不等式的基本方法

考点1

比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

名称

作差比较法

a>b⇔a－b>0 理论依据

a

证明步骤

考点2

综合法和分析法

1.综合法

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．

2.分析法

证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考适用于具有多项式特征的不等式的证明

作差→变形→判断符号→得出结论

作商比较法

ab>0，b>1⇒a>b ab<0，b>1⇒a

主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明

作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论

1

和证明方法．

考点3

反证法与放缩法

1.反证法

证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．

2.放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

[双基夯实] 一、疑难辨析

判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”．(

) x＋2y2.若>1，则x＋2y>x－y.(

) x－y3.|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(

) 4.若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(

) 答案

1.×

2.×

3.√

4.√

二、小题快练

1.[2017·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(

) 11A.a

abC.2>2

c＋1c＋1答案

C 解析

应用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；

2 B．a2>b2

D．a|c|>b|c|

取c＝0，排除D.显然11>0，对不等式a>b的两边同时乘以，立得c2＋1c2＋1ab>成立，故选C. c2＋1c2＋1ba2.[课本改编]不等式：①x＋3>3x；②a＋b≥2(a－b－1)；③a＋b≥2，其222中恒成立的是(

) A.①③

C．①②③

答案

D 323解析

由①得x＋3－3x＝x－2＋4>0，所以x2＋3>3x；对于②，因为a2＋2B．②③

D．①②

b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0a－bbaba时，a＋b－2＝ab<0，即a＋b<2，故选D. 3.[2017·南通模拟]若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是(

) A.a

C.|a|>|b|－|c|

答案

D 解析

|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|，故选D. 1114.已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最小值为________．

答案

9 111解析

把a＋b＋c＝1代入a＋b＋c，得

a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c

bacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

2B．a>c－b

D．|a|<|b|＋|c| ≥3＋2＋2＋2＝9，

1当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立.

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考向

比较法证明不等式

11x－例1

[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝2＋x＋2，M为不等式f(x)<2的解集．

(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|. 11[解]

(1)f(x)＝1，－2－1，即－1

1－2x，x≤－2，

1当x≤－2时，由f(x)<2，得－2x<2，

1111当－2

11当x≥2时，由f(x)<2，得2x<2，解得x<1，即2≤x<1. 所以f(x)<2的解集M＝{x|－1

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1

比较法证明的一般步骤

一般步骤：作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法. 【变式训练1】

[2017·福建模拟]已知函数f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；

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(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．

解

(1)当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；

1当－1

1当x≥－2时，原不等式可化为x＋1<2x，解得x>1，

综上，M＝{x|x<－1或x>1}．

(2)证明：证法一：因为f(ab)＝|ab＋1|＝|(ab＋b)＋(1－b)|≥|ab＋b|－|1－b|＝|b||a＋1|－|1－b|. 因为a，b∈M，所以|b|>1，|a＋1|>0，

所以f(ab)>|a＋1|－|1－b|，

即f(ab)>f(a)－f(－b)．

证法二：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1| ≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，

所以要证f(ab)>f(a)－f(－b)，

只需证|ab＋1|>|a＋b|，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，

即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，

即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0. 因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1，所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立. 考向

用综合法与分析法证明不等式

例2

[2015·全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：

(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；

(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．

[证明]

(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，

得(a＋b)2>(c＋d)2.所以a＋b>c＋d.

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(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)得a＋b>c＋d. ②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，

即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，

因此|a－b|<|c－d|. 综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件. 触类旁通

综合法与分析法的逻辑关系

用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提. 提醒

用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件. 【变式训练2】

柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数ai，bi(i＝1,2，…，n)，有(a1b1＋a2b222222＋…anbn)2≤(a1＋a2当且仅当ai＝kbi(i＝1,2，…n)时，等号2＋…an)(b1＋b2＋…bn)，成立．

(1)证明当n＝2时的柯西不等式；

(2)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求m2＋n2的最小值．

222解

(1)证明：当n＝2时，柯西不等式的二维形式为(a21＋a2)(b1＋b2)≥(a1b1222222222＋a2b2)2.(a1＋a22)(b1＋b2)－(a1b1＋a2b2)＝a1b2＋a2b1－2a1a2b1b2＝(a1b2－a2b1)≥0，当且仅当a1b2＝a2b1时取得等号．

(2)由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，所以5(m2＋n2)≥52即m2＋

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n2≥5，所以m2＋n2的最小值为5. 考向

反证法证明不等式

11例3

[2015·湖南高考]设a>0，b>0，且a＋b＝a＋b.证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

11a＋b[证明]

由a＋b＝a＋b＝ab，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0

对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤是反设→推理→得出矛盾→肯定原结论. 【变式训练3】

法国数学家阿达玛说过“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”．这是对反证法精辟的概括．试用反证法111证明命题：若a，b，c都是正数，则a＋b，b＋c，c＋a中至少有一个不小于2. 111证明

假设a＋b，b＋c，c＋a全部小于2，

1即b＋c<2，c＋1<2，a1a＋b<2，

111由不等式的性质，得a＋b＋b＋c＋c＋a<6. 111111而a＋b＋b＋c＋c＋a＝a＋a＋b＋b＋c＋c≥2＋2＋2＝6，与上式矛7

盾．所以，假设错误，原命题成立. 核心规律

1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．

满分策略

1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．

2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法.

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