二 用数学归纳法证明不等式含PPT的教学设计及点评

4．2

用数学归纳法证明不等式

[学习目标]

1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧(重点)．

2.理解贝努利不等式．

3.能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明(难点)．

[知识提炼•梳理] 1．贝努利不等式

(1)定义：如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx．

(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x)n缩小为简单的1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．

2．数学归纳法证明不等式

(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤．

①证明：当n取第一个值n0时结论成立；

②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．

由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

(2)用数学归纳法证明不等式的重点．

用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)＞g(k)成立，证明f(k＋1)＞g(k＋1)成立．

[思考尝试•夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：

①当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．

②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2＜（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．

根据(1)和(2)可知对任何n∈N＋，n2＋n＜n＋1都成立．

则对上述证法的说法中：

(1)过程全部正确．(

) (2)n＝1验证不正确．(

) (3)归纳假设不正确．(

) (4)从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．(

) 2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈

N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式(

) A．1＋12＜2

B．1＋12＋13＜2 C．1＋12＋13＜3

D．1＋12＋13＋14＜3 3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(

) A．2

B．3 C．5

D．6

[典例1]

设n＞1(n∈N＋)，求证1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1. 归纳升华

用数学归纳法证明不等式：第一步中，确定n0的值，弄清n＝n0时不等式一侧对应的是哪几项，第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)，这一步证明必须用到f(k)＞g(k)这

一假设，证明时要根据欲证明的n＝k＋1时对应的结论，有目的地进行放缩分析．

[典例2]

已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1(n∈N＋)，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．

归纳升华

用数学归纳法证明数列不等式，这虽然是一个行之有效的基本证题方法，但运用这种方法证明数列不等式时，易在推证k到(k＋1)的过程中，断了思路，这时应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征，一定要用上归纳假设，

课堂小结

1．

用数学归纳法证明含正整数n的不等式时(其中n取无限多个值)，解决问题的前提条件是进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的．

2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究，数学归纳法关键是由n＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题．